4. Лабораторная работа n4 Оптимизация функционирования системы при заданных ресурсных ограничениях

Все, что необходимо для производственного процесса (финансы, рабочая сила, сырье и т.п.) можно объединить понятием “ресурсы”, среди которых можно выделить три основные группы: трудовые, материальные и финансовые. Большинство задач, возникающих в производстве можно рассматривать как преобразование ресурсов в результат (получение продукта и его реализацию). Поэтому значительная часть задач, возникающих при управлении производством, относится к классу задач распределения ресурсов.

В настоящей лабораторной рассматриваются два основных варианта задач.

Первый вариант: максимизировать полученный результат – R (количество продуктов или прибыль) при заданных ресурсах (Q).

Модель оптимизируемой системы:

Модель целевой функции (F):

F=R= _j max (прибыль),

где: c_J – прибыль, получаемая от единицы j-ой продукции;

x_J - количество продукции j – го вида;

n - количество видов продукции.

Модель ограничений (ресурсов):

. . . . . . . . . .

где: а_iJ – количество i – го ресурса, необходимого для изготовления еди ницы j- го вида продукции;

b_i – запас i – го ресурса;

m- количество видов ресурсов.

Граничные условия:

x_Jmin ≤ x_J≤ x_Jmax .

Решение первого варианта задачи:

Все исходные данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные

Ресурсы	Вид продукции				Располагаемый ресурс
	П1	П2	П3	П4
Трудовые	1	2	3	4	40
Материальные	6	5	4	3	110
Финансовые (на единицу продукции)	4	6	8	12	100 Сумма 250
Граница выпуска: нижняя верхняя	1 12	0 -	2 -	3 3
План выпуска	x1	x2	x3	x4
Прибыль от единицы продукции	60	70	120	130

Задача: рассчитать такой план выпуска продукции, который обеспечит максимум прибыли при заданных ограничениях (ресурсах).

Для решения поставленной оптимизационной задачи применяется программа линейного программирования “Lindo”

Текст программы:

MAX 60x₁ + 70x₂ +120x₃ +130x₄

SUBJECT TO

X1+2X2+3X3+4X4 <=40

6X1+5X2+4X3+3X4 <= 110

4X1+6X2+8X3+12X4 <= 100

X1>=1

X1<=12

X2>=0

X3>=2

X4=3

END

Результаты:^*

1. 1350 – максимальная прибыль

X1 = 12

X2 = 0 → оптимальное количество выпускаемой продукции

X3 = 2

X4 = 4

*На остальные цифры не обращать внимания

Далее необходимо подсчитать затраченные ресурсы (Q) как сумму произведений затраты ресурсов на единицу соответствующей продукции на вычисленное количество выпуска этой продукции: 30 + 89 +100 = 219

Коэффициент эффективности системы: 1350/219=6,16.

Второй вариант:

При заданной прибыли, например, R=1350 минимизировать используемые ресурсы Q.

C этой целью в модель вводятся дополнительные переменные: Y1, Y2, Y3.

Каждая из этих переменных является оценкой соответствующего неиспользуемого ресурса, т.е. разностью между располагаемым и потребленным ресурсом. Эта величина должна быть минимизирована. Следовательно, модель целевой функции имеет следующий вид:

F = Y1+Y2+Y3 → max

В результате модель ограничений приобретает следующий вид:

…………………….

Сюда же добавляется еще одно ограничение по прибыли (R):

R=

Граничные условия сохраняются.

Текст программы:

MAX Y1+Y2+Y3

SUBJECT TO

X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 + Y1 = 40

6X1 + 5X2 + 4X3 + 3X4 + Y2 =110

4X1 + 6X2 + 8X3 + 12X4 +Y3 =100

60X1 + 70X2 + 120X3 +130X4 >=1350

X1>=1

X1<=12

X2>=0

X3>=2

X4 = 3

END

Результаты:

1. 69,5 (сумма неиспользованного ресурса, т.е. Y1+Y2+Y3)

2. Y1 = 4,5

Y2 = 65

Y3 = 0

3. X1 = 1

X2 = 0

X3 = 7,5

X4 = 3

В итоге:

1) прибыль (R) равна 1350 ед.

2) количество используемых ресурсов: Q = 250 – 69,5 = 180,5

3) план выпуска продукции: X1 = 1, X2 = 0, X3 = 7,5, X4 =3

4) коэффициент эффективности k = 1350/180,5 = 7,48.

Таким образом, в результате проведения двухступенчатой оптимизации удалось рассчитать такой план выпуска продукции, который обеспечит получение максимально возможной при заданных ресурсах прибыли при максимально возможной экономии ресурсов.

Задание: в соответствии с представленным примером оптимизировать план выпуска продукции, прибыль от единицы которой составляет 60, 70, 130, 150 для каждого продукта. Остальные параметры системы сохранены без изменений.

25