- •Математические основы
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения задания
- •Порядок защиты практической работы
- •Математические основы (ЛР)
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретическая справка
- •Порядок выполнения задания
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения задания
- •Порядок защиты практической работы
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения задания
- •Порядок защиты лабораторной работы
- •Код Хэмминга
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения задания
- •Код Хэмминга (ЛР)
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения задания
- •Порядок защиты практической работы
- •Циклические коды
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения задания
- •Порядок защиты практической работы
- •Циклические коды (ЛР)
- •Цель работы
- •Рекомендуемая литература
- •Порядок выполнения задания
- •Порядок защиты лабораторной работы
3.Поля Галуа GF(2m)
3.1. Цель работы
Рассмотреть на примере и получить навыки в решении задач по теме «Конечные поля Галуа» в части, относящейся в вопросам помехоустойчивого кодирования.
3.2.Рекомендуемая литература
1.Ковриженко Г.А. Системы счисления и двоичная арифметика: От счета на пальцах до ЭВМ. К. : Рад. шк., 1984. 79 с.
2.Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. 2-е изд. М. : Наука, 1982. 272 с.
3.Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М. : Просвещение, 1980. 176 с.
3.3.Порядок выполнения задания
Задание выполняется каждым учащимся индивидуально. Поскольку задания практикума связаны с заданиями лабораторного практикума, для их выполнения рекомендуется либо использовать отдельную тетрадь, либо подшивать листы с решением в папку.
Все расчеты должны быть расписаны максимально подробно.
3.3.1.
Для заданного полинома p1(x) показать, что он не является неприводимым. Для этого попытаться построить соответствующее поле Галуа. Полином p1(x) выбирается из табл. 3.1 по предпоследней цифре номера зачетной книжки/студ. билета.
Таблица 3.1 Полином p1(x). Выбирается по предпоследней цифре номера студ. билета
Цифра номера |
Полином |
|
Цифра номера |
Полином |
|
|
|
|
|
1 |
x4 + x2 + x + 1 |
|
6 |
x4 + x3 + x + 1 |
2 |
x4 + x3 + x2 + 1 |
|
7 |
x5 + x + 1 |
3 |
x5 + x2 + x + 1 |
|
8 |
x5 + x3 + x + 1 |
4 |
x5 + x3 + x2 + 1 |
|
9 |
x5 + x4 + x + 1 |
5 |
x5 + x4 + x2 + 1 |
|
0 |
x5 + x4 + x3 + 1 |
3.3.2.
Для заданного образующего полинома p2(x) получить первые двадцать элементов конечного поля. Полином p2(x) выбирается из табл. 3.2 по последней цифре номера зачетной книжки. Полученные элементы записать в табл. 3.3.
16
Таблица 3.2 Полином p2(x). Выбирается по последней цифре номера студ. билета
Цифра номера |
Полином |
|
Цифра номера |
Полином |
|
|
|
|
|
1 |
x7 + x3 + x2 + x + 1 |
|
6 |
x7 + x4 + x3 + x2 + 1 |
2 |
x7 + x5 + x2 + x + 1 |
|
7 |
x7 + x5 + x3 + x + 1 |
3 |
x7 + x5 + x4 + x3 + 1 |
|
8 |
x7 + x6 + x3 + x + 1 |
4 |
x7 + x6 + x4 + x + 1 |
|
9 |
x7 + x6 + x4 + x2 + 1 |
5 |
x7 + x6 + x5 + x2 + 1 |
|
0 |
x7 + x6 + x5 + x4 + 1 |
|
Таблица для записи элементов поля |
Таблица 3.3 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Элемент |
Полином |
Двоичный вид |
Десятичный вид |
Десятичный вид |
|
поля |
|
(1,e,. . . ,e5,e6) |
обычный |
(Matlab/Octave) |
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
|
3.3.3.
Для заданного поля Галуа (см. табл. 3.4) осуществить расчет по заданной формуле. Формула берется из табл. 3.5. Номер формулы соответствует предпоследней цифре зачетной книжки. Значения переменных берутся из табл. 3.6 по последней цифре номера зачетной книжки.
|
Поле Галуа GF(24). p(x) = x4 + x + 1. |
Таблица 3.4 |
|||
|
|
|
|||
Элемент |
Полином |
Двоичный вид |
Десятичный вид |
Десятичный вид |
|
поля |
|
(1,e,e2,e3) |
обычный |
(Matlab/Octave) |
|
|
|
|
|
|
|
e0 = 1 |
1 |
1000 |
8 |
1 |
|
e |
x |
0100 |
4 |
2 |
|
e2 |
x2 |
0010 |
2 |
4 |
|
e3 |
x3 |
0001 |
1 |
8 |
|
e4 |
1 + x |
1100 |
12 |
3 |
|
e5 |
x + x2 |
0110 |
6 |
6 |
|
e6 |
x2 + x3 |
0011 |
3 |
12 |
|
e7 |
1 + x + x3 |
1101 |
13 |
11 |
|
e8 |
1 + x2 |
1010 |
10 |
5 |
|
e9 |
x + x3 |
0101 |
5 |
10 |
|
e10 |
1 + x + x2 |
1110 |
14 |
7 |
|
e11 |
x + x2 + x3 |
0111 |
7 |
14 |
|
e12 |
1 + x + x2 + x3 |
1111 |
15 |
15 |
|
e13 |
1 + x2 + x3 |
1011 |
11 |
13 |
|
e14 |
1 + x3 |
1001 |
9 |
9 |
|
17
Таблица 3.5 Формула для рассчета. По предпоследней цифре номера зачетной книжки
|
|
|
Цифра |
|
|
|
Формула |
|
|
|
Цифра |
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a + b |
|
+ ade |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
ab |
|
+ de |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ab + |
b + c |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
(a + c)be + |
d |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
ad |
|
|
+ ae |
|
|
|
8 |
|
|
(ae + b)c + |
d |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
|
|
9 |
|
|
a |
+ ce)d |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(a + b)c + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (b |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
ae |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
a + de |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ cd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bc |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.6 |
Переменные для рассчета. По последней цифре номера зачетной книжки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последняя цифра номера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
5 |
|
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
e12 |
e11 |
|
|
e10 |
|
|
e9 |
|
e8 |
e7 |
e6 |
|
|
|
e5 |
|
|
e4 |
|
e3 |
|
||||||||||
|
b |
|
e2 |
e3 |
|
|
|
e4 |
|
|
e5 |
|
e7 |
e6 |
e8 |
|
|
|
e9 |
|
|
e10 |
|
|
e11 |
|
||||||||
|
c |
|
e14 |
e12 |
|
|
e11 |
|
|
e8 |
|
e6 |
e4 |
e2 |
|
|
|
e13 |
|
|
e11 |
|
|
e9 |
|
|||||||||
|
d |
|
e3 |
e5 |
|
|
|
e7 |
|
|
e11 |
|
e9 |
e13 |
e12 |
|
|
|
e10 |
|
|
e8 |
|
|
e6 |
|
||||||||
|
e |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
6 |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
6 |
|
3.3.4.
Для заданного поля Галуа (см. табл. 3.4) и элементов поля a и b найти характеристическую матрицу Fb и осуществить умножение элемента a на элемент b, используя матрицу Fb. Значения элементов a и b выбираются из табл. 3.7 по предпоследней и последней цифрам номера зачетной книжки соответственно.
Таблица 3.7
Переменные для умножения по характеристической матрице
|
|
|
Предпоследняя цифра номера |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
a |
|
e12 |
e11 |
e10 |
e9 |
e8 |
e7 |
e6 |
e5 |
e4 |
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Последняя цифра номера |
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
b |
|
e2 |
e3 |
e4 |
e5 |
e7 |
e6 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
3.4.Порядок защиты практической работы
Защита работы может осуществляться одним из нижеперечисленных способов или их сочетанием на усмотрение преподавателя.
18
1.Устный ответ по теме работы.
2.Тестирование по теме работы
3.Задача по теме работы.
4.Иные варианты на усмотрение преподавателя.
19