билеты_41_81

M	M
Пусть x(nT ) = åam × xm (n) , тогда	X (z) = åam × X m (z) ,	(6.1.10)
m=1	m=1

где am - постоянные коэффициенты, Xm(z) – изображение x(nT).

Z - преобразование от суммы дискретных сигналов равно сумме z- преобразований от каждого дискретного сигнала в отдельности.

2) Сдвиг во временной области (задержка).

Если изображение х(n) равно Х(z), то Z–преобразование последовательности х(n - no) при любых положительных no равно X (z) × z −n0 :

	Z{x(n − n )} = z− n0	X (z) .	(6.1.11)
	0
3) Теорема о свертке:
∞
Если x (n ) = å x1	(m ) × x 2 (n - m ), то	X (z) = X 2 (z) × X1 (z) .
m =0

6.1.2. Обратное Z-преобразование

По Z – изображению последовательности можно однозначно определить оригинал. Формально обратное Z – преобразование определяется соотношением

	1		n−1
x(n) =	2 ×π × j × Cò X (z) × z			dz ,	(6.1.20)
где С – контур в области сходимости		X (z)z n−1 , охватывающий начало координат

Z-плоскости. Обычно это окружность единичного радиуса в плоскости Z. Способы вычисления обратного Z-преобразования:

·прямое вычисление интеграла с использованием теоремы о вычетах;

·разложение X(z) на простые дроби и использование тпблицы соответствия оригиналов и изображений.

Теорема о вычетах

Если известно изображение Х(z) некоторого дискретного сигнала x(n), то

K
x(n) = åRe sk {X (z) × zn−1} ,	(6.1.21)
k=1
где К – число корней знаменателя (полюсов) функции X(z),
Re sk {X (z) × zn−1} = lim(z - zk ) × X (z) × zn−1 .	(6.1.22)
z→ zk

Билет 51. Типовые дискретные сигналы.

U0(n)

n

1) Единичный цифровой импульс:

u0	ì1, n = 0	,	(6.1.22)
	(n) = í
	î0, n ¹ 0

С учетом определения u0 (n) , изображение единичного цифрового импульса

будет определяться в виде:

∞

X (z) = åu0 (n) × z −n = 1.

n=0

2)Единичный цифровой импульс, сдвинутый на m тактов:

u0

ì1, n = m

.

(6.1.23)

u0(n­m)

(n - m) = í

î0, n ¹ m

1

n

Найдем изображение этого импульса

∞

m

X (z) = åu0 (n - m) × z−n .

(6.1.24)

С учетом свойства задержки или определения (6.1.23) X (z) = z−m .

3)

Цифровой единичный скачок:

U1(n)

ì1, n ³ 0

u1

(n) =

.

(6.1.24)

í

1

0, n < 0

î

n

Найдем изображение цифрового единичного скачка при условии modz− 1á1.

	∞
Тогда	X (z) = åu1 (n - m) × z−n , слагаемые которого представляют собой
	0

бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем z −1 , сумма

которой будет иметь вид:

X (z) =			1	.	(6.1.25)
	1		−
			- z 1

4)Цифровой единичный скачок, сдвинутый на m тактов:

ì

U (n­m)

U1

1,n ³ m

.

(6.1.26)

(n - m ) = í

1

î0 ,n

< m

1

n

С учетом свойства задержки

m

X (z) =

1

z−m .

1

−

- z 1

5)

Цифровая экспонента:

n

х(n)

x(n) =	ì	an,n ³	0	,		a		á1.
	í	0,n <	0						(6.1.27)
	î

Изображение этого дискретного сигнала

∞	∞
описывается уравнением X (z) = åan × z−n = å(a × z−1)n ,		(6.1.28)

00

слагаемые которого представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = a × z −1 . Сумма этой прогрессии

		X (z) =			1	.	(6.1.29)
			1		−
					- a × z 1
6. Цифровой гармонический сигнал.
Запишем непрерывный гармонический сигнал
x(t) = Asin(2 ×π × f ×t) .
Тогда цифровой гармонический сигнал							(6.1.30)
x(nT ) = x(t)		t =nT = A ×sin(2 ×π × f ×n ×T ) .

	х(nТ)
						7	8	9	10	11	12	tn)
0	1	2	3	4	5	6

В цифровой обработке сигналов принципиально то, что все расчеты проводятся для нормированных частот. Нормирование проводится по частоте дискретизации.

Так как T =1 fд , то	f ×T =	f fд =		- нормированная частота.
			f

	é	f д	ù			ˆ	[	]
Если f	Î ê0 ;			, где fд – частота дискретизации, то
		2	ú			f	0 ;0 ,5
	ë		û
					×π × fˆ и ωˆ [0;π] .
				ω = 2

Нормирование частоты позволяет производить исследование свойств цифровых цепей и сигналов в одной и той же полосе частот, причем если нормированные частоты различных сигналов совпадают, то их нормированные спектры тоже одинаковы.

Билет 52. Дискретные системы. Обобщенная структурная схема

цифровой обработки сигналов.

Обобщенная структурная схема системы цифровой обработки сигналов приведена на рис.6.2.1.

Источник	x(t) Ограничитель x1(t)			x1(n)	Цифровой
аналогового	спектра		АЦП		процессор
сигнала	1	2		3		4
	Приемник		Сглаживаю-
	аналового	y(t)	щий фильтр	y1(t)	ЦАП	y1(n)
	Сигнала `	6		5

Рис.6.2.1. Обобщенная структурная схема системы цифровой обработки сигналов.

Так как реальный аналоовый сигнал имеет конечную длительность, то его спектр бесконечен по частоте. Поэтому для его дискретизации необходимо ограничить ширину спектра. Эту операцию и выполняет ограничитель спектра. На рис.6.2.2 приведены эпюры, поясняющие работу структурной схемы, изображенной на рис.6.2.1.

		х(f)												x1(f)
	1													2
												f
		y1(n)												y1(t) Fв
		4										n				5

x1(n)

3

f

n

y(t)

6

n

t

Рис.6.2.2. Эпюры, поясняющие работу системы цифровой обработки сигналов.

Цифровая обработка аналогового сигнала может идти в реальном и нереальном масштабе времени. В реальном масштабе времени обработка происходит в темпе поступления информации, то есть алгоритм обработки сигнала должен сработать за интервал времени Т, то есть за период дискретизации.

Билет 53. Временные характеристики дискретных цепей.

К временным характеристикам дискретных цепей относятся импульсная и переходная характеристики.

Импульсной характеристикой дискретной цепи называется отклик (реакция) цепи на воздействие в виде единичного цифрового импульса u0 (n) при нулевых

начальных условиях и обозначается g(n).

Переходной характеристикой дискретной цепи называется отклик (реакция) цепи на воздействие в виде единичного цифрового скачка u1 (n) при нулевых

начальных условиях b и обозначается h(n).

Под нулевыми начальными условиями понимаются следующие соотношения:

y(n-m)=0 при n<m;
x(n-m)=0 при n<m.	(6.2.11)

При описании и анализе дискретных цепей используется только импульсная характеристика, так как переходная характеристика легко получается из импульсной.

∞	∞
Так как u1 (n) = åu0 (n - m) , то по свойству линейности	h(n) = åg(n - m) .
m=−0	m=−∞

Импульсная характеристика полностью описывает все свойства дискретной цепи. С помощью импульсной характеристики можно найти отклик (реакцию) цепи на любое воздействие.

Пусть дана некоторая дискретная цепь с импульсной характеристикой g(n). На входе цепи действует дискретная последовательность x(n). Тогда по свойству селективности

∞
x(n) = åx(m) ×u0 (n - m) .	(6.2.12)

m=−∞

Согласно свойству линейности и определению g(n) сигналу u0 (n -m) на входе цепи соответствует отклик (реакция) g(n −m) , а сигналу x(m) ×u0 (n -m) соответствует отклик x(m) ×h(n -m) и тогда

∞
y(n) = åx(m) × g(n - m) .	(6.2.13)
m=−∞
Сделаем замену переменной n-m=k, тогда m=n-k и выражение (6.2.13) запишется
в виде
∞
y(n) = åx(n -k) × g(k) .
k =−∞
Обозначив k=m, окончательно получим
∞
y(n) = åx(n - m) × g(m) .	(6.2.14)

m=−∞

Выражения (6.2.13) и (6.2.14) эквивалентны и называются дискретной сверткой.

Таким образом отклик дискретной цепи представляет собой свертку воздействия и импульсной характеристики этой цепи.

Билет 54. Свойства импульсных характеристик.

1). Длительность импульсных характеристик

∙Нерекурсивных цепей

Рассмотрим нерекурсивную цепь, которая описывается разностным уравнением второго порядка

y(n) = b0 × x(n) + b1 × x(n -1) + b2 × x(n - 2) .

Найдем импульсную характеристику при нулевых начальных условиях: g(0) = b0 ×u0 (0) + b1 ×u0 (-1) + b2 ×u0 (-2) = b0 ,

g(1) = b0 ×u0 (1) +b1 ×u0 (0) +b2 ×u0 (-1) = b1 , g(2) = b0 ×u0 (2) +b1 ×u0 (1) +b2 ×u0 (0) = b2 ,

g(n) nñ 2 = 0.

В нерекурсивных цепях отсчеты импульсной характеристики совпадают с коэффициентами разностного уравнения. Длина импульсной характеристики на единицу больше порядка разностного уравнения, а сама импульсная характеристика конечна. Поэтому нерекурсивные дискретные цепи называют еще КИХ-цепями (цепи с конечной импульсной характеристикой).

∙Рекурсивных цепей

Рассмотрим рекурсивную цепь, которая описывается разностным уравнением первого порядка

y(n) =b0 × x(n) -a1 × y(n -1) .

Найдем импульсную характеристику при нулевых начальных условиях: g(0) = b0 ×u0 (0) -a1 ×h(-1) = b0 ,

g(1) = b0 ×u0 (1) - a1 × h(0) = b0 ×(-a1 ) ,

g(2) = b ×u		(2) - a × h(1) = b × (-a )2				,
0	0		1	0	1
… …	…		… …		…	…

g(n)			= b × (- a )n .
		nñ 2	0	1

Импульсная характеристика рекурсивной цепи бесконечна. Поэтому рекурсивные дискретные цепи называют еще БИХ-цепями (цепи с бесконечной импульсной характеристикой). Эти цепи помнят всю историю импульсной характеристики.

2). Устойчивость

Под устойчивостью будем понимать способность системы иметь конечную реакцию на конечное воздействие.

Необходимым и достаточным условием устойчивости дискретной системы является сходимость ряда, составленного из отсчетов импульсной характеристики, что эквивалентно условию:

Билет 55.

Основы построения функциональных схем дискретных цепей.

При построении дискретных цепей используются следующие элементы:

∙элемент задержки

x(n)			T	x(n-1)	x(n)	Z −1		x(n-1)/

∙сумматор

x1(n)

y(n)=x1(n)+x2(n)

x2(n)

умножитель на постоянный коэффициент

x(n)	k		k·x(n)

Примеры структурных схем

∙Нерекурсивная цепь

Разностное уравнение нерекурсивной цепи имеет вид y(n) = x(n) + b1 × x(n -1) + b2 × x(n - 2) .

Тогда структурная схема цепи примет вид

x(n)

−

1

−1

∙

b0∙

b1

b2

Z

Z

∙

∙

y(n)

∙

рекурсивная цепь

Разностное уравнение рекурсивной цепи имеет вид

y(n) = x(n) +b1 × x(n -1) - a1 × x(n -1) .

Тогда структурная схема цепи примет вид

x(n)	b1

Z −1

y(n)

a1

Z −1

Билет 56. Передаточные функции линейных дискретных цепей.

Передаточной функцией линейных дискретных цепей называется отношение z- изображений реакции (отклика) к Z - изображению воздействия, т.е.

T (z ) =	Y (z )	(6.2.16)
	X (z ) ,

где Y(z) – изображение реакции; X(z) – изображение воздействия. Передаточная функция получается из разностного уравнения (6.2.7).

Пусть Y (z ) - Z–изображение отклика дискретной системы y(n), а X (z ) - Z-

изображение воздействия х(n). Возьмём прямое Z-преобразование от правой и левой части разностного уравнения (6.2.7). С учётом свойств линейности и задержки получим:

M −1

−i

N −1

×Y (z ) × z −i

Y (z ) = å bi × X (z ) × z

-

åa i

(6.2.17)

i =0

i =1

, или

Y (z ) = X (z )

M −1

N −1

× å bi × z −i

- Y (z ) × åa i × z −i

i =0

i =1

Y ( z) ×

é

N −1

× z

−i ù

M −1

−i

ê1

+ åai

ú = X ( z) × åbi × z

ë

i =1

û

i =0

M −1

T (z) =

Y (z)

=

åbi × z−i

i=0

.

(6.2.18)

−

X (z)

N 1

1+ åai × z−i

i=1

a i , при

i ¹ 0 отличен от нуля, то это

Если хотя бы один из коэффициентов

выражение описывает передаточную функцию рекурсивной цепи.

Если все коэффициенты

a i =0 при i¹ 0, то следующее уравнение описывает

передаточную характеристику нерекурсивной цепи:

Y ( z)

M −1

T (z) =

=

åbi × z −i .

(6.2.19)

X ( z)

i=0

Билет 57.

Нули и полюсы передаточной функции дискретной цепи.

Нулём передаточной функции (обозначим как βi ) называется значение

переменной Z, обращающее передаточную функцию в ноль – это эквивалентно обращению в ноль числителя передаточной функции:

M −1

å bi × z −i = 0 – это уравнение решается не относительно переменной z −1 , а

l =0

относительно переменной Z, следовательно, надо привести к полиному относительно переменной Z умножением правой и левой части на z M −1 , т.е. на Z в наибольшей

степени.

Полюсом передаточной функции (обозначим как αi ) называется значение

переменной z, обращающее передаточную функцию в бесконечность – это эквивалентно обращению в ноль знаменателя передаточной функции, т.е.

N −1

1 + å a i × z −i = 0 . (6.2.20)

i =1

Нули и полюсы полностью определяют свойства системы.

Изображение нулей и полюсов на комплексной плоскости Z называется картой нулей и полюсов (рис.6.2.3).

βi	η	αi

ξ

β ×	α×
i	i

Рис.6.2.3. Карта нулей и полюсов ( βi× и αi× - нули и полюса, комплексно-сопряженные βi и αi соответственно).

В выражении передаточной функции (6.2.18) полиномы числителя и знаменателя можно представить в виде произведений:

Må−1 bi × z −i = b0 × (1 - β1 × z −1 ) × (1 - β 2
i =0
	N −1	(1 - α1 × z −1 )×	(1 - α 2
1	+ å a i × z −i =
	i =1
Тогда
		M −1		× z −1 )
		b ∏(1- β	i
	T (z) =	0
		i=1
		N −1
		∏(1-αi	× z −1 )

i=1

× z −1 )...(1 - β		−	× z −1 )
	M 1		,
× z −1 )...(1 - α
		−	× z −1 )
	N	1	.

(6.2.21)

Тогда передаточная характеристика дискретной цепи примет вид