билеты_41_81

M −1

(1+ b¢ × z−1 + b¢¢ × z−2 )

b × ∏2

T ( z)

=

0

k

k

k =1

,

(6.2.22)

N −1

∏2

(1+ a¢

× z−1

+ a¢¢ × z−2 )

k =1

k

k

Где

bk

= -2 ×γ k ,

ak

= -2 ×σ k ,

ak¢¢ = σ k

+ηk .

bk¢¢ = γ k + δ k ,

′

2

2

′

2

2

Для нерекурсивной цепи передаточная функция в этом случае будет иметь вид:

		M −1
T (z ) = b	0	× ∏2 (1 + b ¢ × z −1	+ b ¢¢ × z −2	).
		i	i
		i =1

Билет 58. Свойства передаточной функции дискретной цепи.

1). Передаточная функция есть z-изображение импульсной характеристики.

Пусть x(n) = u0 (n) , тогда

y(n) = h(n)

и

Y ( z)

= z{h(n)} .

Так как Z-изображение u0 (n)

равно 1, то

T ( z) =

Y ( z)

=

Y ( z)

= Y ( z) = z{h(n)}

,

т.е.

T ( z)

= z{h(n)}

X ( z)

1

и окончательно

1

∞

T (z) = åh(n) × z −n ,

h(n) =

T (z) × z n−1dz. .

(6.2.24)

2

×π × j Cò

i=0

2. Связь передаточной характеристики с переходной характеристикой линейной

дискретной цепи.

Если x(n)

= u1 (n) , то

y(n) - переходная характеристика g(n), а H (z) =Y (z) -

ее изображение.

Так как изображение единичного цифрового скачка

X (z) =

1

, то

Y (z)

1- z −1

T (z)

T (z) =

= H (z) ×(1 - z

−1

) и

H (z)

=

.

X (z)

1 - z

−1

Окончательно

1

T(z)

h(n)

=

ò

×zn−1dz ,

(6.2.25)

2 ×π

× j

1- z−1

∞

T (z) = (1- z −1 ) × åg(n)z

−1 .

(6.2.26)

n=0

3.Устойчивость линейной дискретной цепи.

Система устойчива, если все полюса, описывающие линейную дискретную систему, находятся внутри круга единичного радиуса, то есть αi <1 .

Если передаточная функция линейной цепи представляет собой правильную дробь, то она может быть представлена в виде суммы простых дробей:

N −1	Ai
T ( z) = å					.
	1-α		× z	−1
=		i
i 1

Тогда импульсная характеристика имеет вид:

N −1
g (n ) = å	Ai × (α i )n .
i =1

(6.2.27)

(6.2.28)

Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является условие:

∞
å g(n) < ¥ .	(6.2.29)

n=0

При		αi			<1 необходимо и достаточно, чтобы
		N −1				N −1	∞
		åAi ×αin £				åAi × åαin .
		i =1				i =1 n=0
4. Если					нули и	полюсы взаимно обратные:

(6.2.30)

α i × β i = 1 , то система, которая

описывается этими нулями и полюсами является всепропускающей системой, то есть АЧХ её постоянна. Такая система называется фазовой цепью.

5. По передаточной функции можно определить разностное уравнение и построить

структурную схему цепи.

				M −1
		T ( z) =		åbi × z		−i	=	Y ( z)
				i=0						,
				N	−1			X ( z)
		1+ åai × z−i
				i=1
	X (	M −1		−i = Y ( z) + Y ( z)					N −1
		z) × åbi × z							× åai × z −i ,
		i=0							i=1
	M −1				N −1
Y ( z) = åbi × z −i × X ( z) - åai × z −i ×Y ( z).
	i=0				i=1					(6.2.31)
Учитывая, что	z −1 {Y (z )} = y (n )				и		z −1 {X (z )} = x (n ) возьмём обратное Z –

преобразование от правой и левой части уравнения (6.2.31). Тогда с учётом свойства линейности и задержки получим:

m−1	N −1
y(n) = åbi × x(n - i) - åai × y(n - i) .
i=0	i=1

j×ω×n ×T

Билет 59.

Частотные характеристики линейных дискретных цепей.

Передаточная функция линейной дискретной системы иногда называется системной функцией, так как она описывает все свойства системы, включая её частотные свойства.

В линейных аналоговых цепях частотная характеристика получается из передаточной характеристики в операторном виде путём замены p на jω.

В линейной дискретной системе частотные характеристики получаются путём замены z ® e j ×ω ×T .

Рассмотрим реакцию цепи на цифровой гармонический сигнал

x (n ) = A (ω ) ×e , перейдя к нормированной ωˆ , получим x (n ) = A (ωˆ ) × e j×ωˆ ×n

Воспользуемся выражением для свёртки:

¥

y(n) = åx(m)

m=0

¥

× h(n - m) = åh(m) × x(n - m).

m=0

Подставим вместо x(m) входное воздействие в виде цифрового гармонического сигнала:

¥

¥

y(n) = åh(m) × A(ωˆ ) ×e j×ωˆ×( n-m)

= åh(m) × A(ωˆ ) ×e j×ωˆ×n ×e- j×ωˆ×m =

m=0

m=0

¥

¥

= T (e j×ωˆ ).

= A(ωˆ )

×e j×ωˆ×n × åh(m)

×e- j×ωˆ×m ;

åh(m) ×e- j×ωˆ×n = T ( z)

z=e j×ωˆ

m=0

m=0

T (e jωˆ ) =

T (e j×ωˆ )

×e j×ϕT (ωˆ ) .

(6.2.33)

где

(

j ×ωˆ )

– модуль T (z ) при z

= e

j ×ω

,

T e

ϕ

T

(ω )

– аргумент функции

T (e jωˆ )

.

ˆ

T (e j ×ωˆ )

× e j ×ωˆ ×n × e j ×ϕT (ωˆ )

y (n ) = A (ωˆ ) ×

ϕ

(ω )

(ω)

(ω)

(

j×ωˆ

)

y (n )

= B (ωˆ ) × e

j× y

ˆ

, B

×

.

ˆ

= A ˆ

T e

Амплитудно-частотная характеристика линейной дискретной цепи будет

определятся следующим выражением:

ω

B

(ωˆ )

T (e j× ˆ )

=

A(ωˆ ) .

(6.2.34)

ϕy (ωˆ ) = ωˆ ×n + ϕT (ωˆ ) ,

откуда фазочастотная характеристика линейной дискретной цепи

ϕT (ωˆ ) =ϕy (ωˆ ) -ωˆ ×n .

(6.2.35)

Выводы:

1. Реакция линейной дискретной цепи на комплексный гармонический сигнал в установившемся режиме является произведением этого сигнала на передаточную

функцию, при z				= e j ×ωˆ .
ω		ω		ϕ (ω)	– комплексная частотная характеристика	или просто
T (e j ׈ )=		T (e j ׈ )	×e j × T ˆ
					линейной цепи
частотная характеристика
2. Частотная зависимость отношения действительной амплитуды реакции цепи к

действительной амплитуде воздействия в установившемся режиме называется АЧХ или амплитудно-частотной характеристикой.

3.Начальная фаза реакции цепи равна сумме начальной фазы воздействия цепи

иаргумента комплексной частотной характеристики.

4.Разность начальных фаз реакции цепи и воздействия носит название ФЧХ или фазо-частотной характеристикой.

τ (ωˆ ) = − ∂ϕT (ωˆ ) – групповое время запаздывания цепи.

∂ωˆ

5. Частотные характеристики ЛДЦ являются:

–непрерывными функциями частоты,

–периодическими функциями частоты ω с периодом, равным частоте

дискретизации ωд = 2Т× π , так как тот же период имеет функция

Поскольку T (e j ×ωˆ

e j ×ωˆ ×n = e j ×ω ×n ×T = e j ×2 ×π × f ×n ×T .

) = Re + j × Im , то

ϕT (ω) = arctg Im − ФЧХ ,

T (e j×ωˆ )

−АЧХ .

= Re2

+Im2

T (e j×ωˆ )

Re

ϕ (ω)

АЧХ

представляет собой чётную функцию частоты, а ФЧХ

–

T ˆ

нечётную функцию частоты.

LXIII , IX ...

Билет 60. Системы счисления.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. К позиционным системам счисления относятся такие, у которых каждому разряду числа соответствует определенный вес

385 = 3×102 + 8 ×101 + 5 ×100 .

(7.1.1)

К непозиционным системам счисления относятся такие, у которых разряду числа не обязательно соответствует определенный вес. К таким системам относится, например, римская система счисления, в которой числа имеют вид

XI , и т.д. (7.1.2)

В настоящем разделе мы будем рассматривать только позиционные системы счисления, так как именно они лежат в основе построения всех цифровых систем обработки информации.

Любое число Q в произвольной системе счисления можно записать в виде

−∞
Q = åan × mn ,	(7.1.3)
∞
где an - коэффициент при соответствующей степени n,	m – основание системы

счисления. Коэффициенты an могут принимать значения 0, 1, 2, …, m-1. Рассмотрим

выражение (7.1.3) на примере десятичного числа 392,534. С учетом (7.1.3)

392,534 = 3 ×102 +		9 ×101 +	2 ×100 +		5 ×10−1 +			3 ×10−2 + 4 ×10−3 .
В	цифровой	технике		используются					двоичная,	восьмеричная	и
шестнадцатеричная системы счисления.						m = 2, а an может принимать значения 0 или
Для двоичной системы счисления
1. Пример двоичного числа 10011				= 1× 24		+ 0× 23	+ 0× 22		+1× 21 +1× 20 .
			2				m = 8, а an может принимать значения 0,
Для восьмеричной системы счисления
1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Пример восьмеричного числа								37428 = 3×83 + 7 ×82 + 4×81 + 2×80 .
Для шестнадцатеричной системы счисления									m = 16, а	an может принимать
значения	от 0 до 15. Для		удобства		записи		шестнадцатеричного числа значения

коэффициентов от 10 до 15 записываются буквами латинского алфавита, т.е. 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F. Пример шестнадцатеричного числа

8FA416 = 8×163 +15×162 +10×161 + 4×160 .

Индекс у числа указывает на основание системы счисления.

Для перевода целого числа из одной системы счисления в другую используется процедура деления заданного числа на основание требуемой системы счисления, рассмотренная на примере перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Билет 61. Представление двоичных чисел в двоичных кодах

С целью упрощения выполнения арифметических и логических операций в цифровых системах двоичные числа представляются в соответствующих кодах.

Пусть задано N – разрядное двоичное число

Q =aN aN −1aN −2 ..., i,...a1a0 , где ai принимает значения 0 или 1.

Это число может быть представлено в следующих кодах:

∙Прямой код

Если Q>0, то Q =0.aN aN −1aN −2 ..., i,...a1a0 .

	Q =1.a			a		− a	−	..., i,...a a
Если Q<0, то			N		N	1	N 2	1 0 .
Например, 1710 = 100012						и	−1710 = −100012
Тогда в прямом коде эти числа будут иметь вид
0.100012		и		1.100012				соответственно.

∙Дополнительный код

Если Q>0, то Q =0.aN aN −1aN −2..., аi ,...a1a0 .

Если Q<0, то	Q =1.а			a	− a	− ..., а ,...a a +1МР					,
			N		N 1	N 2	i	1	0
Где 1МР –единица			младшего				разряда,		черта	над коэффициентом аi означает
инверсию коэффициента, т.е., если аi =1, то а =0, если аi =0, то а =1.
Например, 1710 = 100012					и	−1710 = −100012
Тогда в прямом коде эти числа будут иметь вид
0.100012		и			1.011112		соответственно.

∙Обратный код

Q =0.a

a

− a

− ..., а ,...a a

Если Q>0, то

N

N

1 N

2

i

1 0 .

Q =1.а

a

− a

− ..., а ,...a a

Если Q<0, то

N

N

1

N

2

i

1 0 ,

где черта над коэффициентом аi

означает инверсию коэффициента, т.е., если аi =1,

то а =0, если аi =0, то а =1.

Например, 1710 = 100012

и

−1710 = −100012

Тогда в прямом коде эти числа будут иметь вид

0.100012

и

1.011102

соответственно.

Билет 62. Основы алгебры логики.

Цифровые устройства строятся на основе аппаратно-математической логики или алгебры логики, основы которой разработал в 17-м веке Джон Буль. Поэтому алгебру логики иногда называют Булевой алгеброй.

Основным положением, на котором строится алгебра логики является

высказывание.

Под высказыванием понимается всякое утверждение, о котором можно сказать, что оно либо “истинно”, либо “ложно”.

Каждому высказыванию соответствует значение истинности, выраженное числом. Если высказывание истинно, то его значение истинности равно 1 (единице), если высказывание ложно, то его значение истинности равно 0 (нулю).

Высказывания бывают простые и сложные. Простыми высказываниями называются такие, значения истинности которых не зависят от значений истинности других высказываний. Если значения истинности высказываний зависят от значений истинности других высказываний, то такие высказывания называются сложными.

Простые высказывания могут объединяться с помощью различных логических связей, образуя логические функции. Логические функции бывают простыми и сложными. Простой логической функцией называется логическая функция, которая образована с помощью однородных логических связей. В противном случае логическая функция называется сложной.

Логические функции объединяются в системы логических функций. Эти системы логических функций могут быть функционально полными или функционально неполными. Под функционально полной системой логических функций понимается такая совокупность логических функций, с помощью которой можно записать любую сколь угодно сложную логическую функцию. В противном случае система логических функций называется функционально неполной.

Билет 63.

Основная функционально полная система логических функций.

∙ Логическое сложение (логическая связь “ИЛИ” или “дизъюнкция”) Записывается A = a + b + c = a b c (читается А есть a или b или c).

Логическим сложением называется такая логическая функция, значение истинности которой равно 0 (нулю) в том и только в том случае, если значения истинности всех составляющих его простых высказываний равно 0 (нулю). Значение истинности этой логической функции равно 1 (единице), если значение истинности хотя бы одного из составляющих ее простых высказываний равно 1 (единице).

Элемент, который выполняет такую логическую операцию в цифровых системах, обозначается

a 1

A=avb b

∙ Логическое умножение (логическая связь “И” или “конъюнкция”) Записывается A = a × b × c = a Ù b Ù c (читается А есть a и b и c).

Логическим умножением называется такая логическая функция, значение истинности которой равно 1 (единице) в том и только в том случае, если значения истинности всех составляющих его простых высказываний равны1 (единице). Значение истинности этой логической функции равно 0 (нулю), если значение истинности хотя бы одного из составляющих ее простых высказываний равно 0 (нулю).

Элемент, который выполняет такую логическую операцию в цифровых

системах,			обозначается
a
	&	A=a·b

b

∙Логическое отрицание (логическая связь “НЕ” или “инверсия”)

Записывается A = a (читается А есть не a).

Логическим отрицанием называется такая логическая функция, значение истинности которой равно 0 (нулю), если значение истинности составляющего его простого высказывания равно 1 (единице). И наоборот значение истинности этой логической функции равно 1 (единице), если значение истинности составляющего ее простого высказывания равно 0 (нулю).

Элемент, который выполняет такую логическую операцию в цифровых системах, обозначается

a

A = a

или

а

A = a

Билет 64. Законы алгебры логики и следствия из них

Этих законов - 4 (четыре). Они представлены в таблице 7.2.

Таблица 7.2.

№№

Законы

Логическое сложение

Логическое умножение

п/п

1

Переместительный

a Ú b = b Ú a

a × b = b × a

2

Сочетательный

a Úb Úc = (a Úb) Úc =

a ×b ×c = (a ×b) ×c =

= a Ú(b Úc)

= a ×(b ×c)

3

Распределительный

a Ú b × c = (a Ú b) ×(a Ú c)

a × (b Ú c) = a ×b Ú a × c

4

Инверсии

= a ×

= a Ú

a Úb

a ×b

b

b

Внекоторых учебниках к этим четырем законам добавляют еще два:

∙Закон поглощения

a Ú a × b = a и a × (a Ú b) = a .

∙Закон склеивания

a ×b Ú a ×b = a и a × (b Ú b ) = a .

Однако на наш взгляд эти законы являются следствием из четырех законов алгебры логики.

Следствия из законов алгебры логики:

∙				=a;			8.	a ×1 = a;
	a
∙			=0 ,			=1;	9.	a × a = a;
		1			0
∙	a Ú0 = a;						10. a × a = 0;
∙	a 1 =1;							11.
	a Ú a ×b = a ×1Ú a ×b = a × (1Ú b) = a;

∙	a а = a;					12.
	a × (a Ú b) = a × a Ú a ×b = a Ú a ×b = a;
∙	a Úa =1;					13.
	a ×b Úa ×	b	= a ×(b Ú	b	) = a ×1 = a;
∙	a ×0 = 0;					14. a ×(b Ú		) = a ×1 = a .
							b