2. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса

2.1 Основные определения

При решении задач сопротивления материалов возникает необходимость оперировать определенными геометрическими характерис-тиками поперечных сечений бруса. В силу своего узкого прикладного значения в общем курсе геометрии они не изучаются.

Р

А

ассмотрим некоторое поперечное сечение бруса площадью А в системе координат х,у (рис.2.1). Интегралы

S_х =иS_y=

называются статическими моментами площади поперечного сечения. Здесь dA– элементарная часть рассматриваемой площади (элементарная площадка) с координатами х,у. Размерность статического момента сечения [м³] или [см³]. Он может быть больше нуля, меньше нуля или равен нулю.

Если известны координаты центра тяжести сечения и его площадь, то статические моменты определятся по формулам

S_х=y_cА·, S_Y=x_сА,

из которых следуют выражения для определения координат центра тяжести

y_с= , x_с= .

Интегралы

І_х =,І_у =

называются осевыми моментами инерции сечения относительно соответственно осей х и у

Интеграл

І_ху =

называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у

Интеграл

І_ρ =

называется полярным моментом инерции сечения.

Размерность рассмотренных моментов инерции [м⁴] или [см^4]].

Так как ρ² = у² + х² , то І_ρ = =, таким образом,

І_ρ = І_х + І_у .

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Отношение осевого момента инерции к ординате наиболее удаленной от оси точки называется моментом сопротивления при изгибе: -момент сопротивления при изгибе относительно оси х,- момент сопротивления при изгибе относительно оси у.

Отношение полярного момента инерции к радиусу наиболее удаленной точки от начала координат называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кручении.

2.2 Геометрические характеристики простейших фигур

Рассмотрим геометрические характеристики прямоугольника, треугольника, круга и кольца.

Прямоугольник:выделим элементарную площадку dA ═ b·dy (рис.2.2). Тогда

І

_х =у² dA =у² b dy = у³ b ∕ 12|= bh³ ∕ 12.

h

dy

у

Рис.2.2

Рис.2.3

Треугольник: элементарная площадка запишется выражением dA═b(у)·dy (рис.2.3). Из подобия треугольников следует b(у) ∕ b = (h─y) ∕ h, откуда получим

b(у) =b( 1- ), І_х =у² dA =у² b( 1-) ·dy = b(у² –) dy = b(–)|= bh³ ∕ 12.

Круг: выделим элементарную площадкуdA(рис.2.4) в виде кольца с радиусами ρ и ρ+dρ, т.е., dA=2πρdρ .

Полярный момент инерции І_ρ ═ρ²dA ═ρ²2πρdρ ═2πρ³dρ ═2πρ⁴ ∕ 4|═

Так как І_ρ = І_х +I_y , а для круга І_х ═ І_y , то І_х ═ І_y ═.

Кольцо: моменты инерции кольца с диаметрамиDиd( рис. 2.5) определятся как разница моментов инерции круга с диаметром D и круга с диаметромd

І_х = І_у =– = (1 - ).

Введем обозначение ═α , тогда

І_х = І_у =(1 – α⁴), І_ρ= ( 1 – α⁴).