2.4. Принцип Вардропа

Дословная формулировка этого принципа гласит: «Время путешествия по всем используемым маршрутам одинаково и меньше времени, которое потребовалось хотя бы одному транспортному средству для поездки по любому из неиспользуемых маршрутов» [1].

Проиллюстрируем цитированное на рисунке 18.

Рисунок 18 – Иллюстрация принципа Вардропа

На рисунке 18 используемыми маршрутами являются: 12-23-34; 15-54. Неиспользуемый маршрут: 16-67-78-84. Поэтому время движения по этим маршрутам подчиняется соотношению

.

Если бы, например, маршрут 15-54 имел бы большую продолжительность поездки при прочих равных условиях, то он бы не использовался.

Применительно к издержкам пассажира математическая формулировка принципа Вардропа принимает вид:

.

Иллюстрация этого соотношения представлена на рисунке 19.

Далее для формулирования задачи равновесия в транспортной сети необходимо отметить, что функция издержек пользователей на сети является неубывающей функцией потока, поскольку расход пользователя сети может только возрастать.

Рисунок 19 – Еще одна иллюстрация принципа Вардропа

Сформулируем теперь задачу равновесия в транспортной сети. Требуется найти такой вектор потоков в сети, для которого удовлетворяются:

• условия непрерывности потоков в сети;

• условия неотрицательности потоков в сети;

• условия аддитивности потоков в сети (возможность суммировать потоки по дуге);

• принцип Вардропа;

• функция спроса пассажира (или грузоотправителя).

Можно доказать, что решение такой задачи существует и что это решение единственное (доказательство этого факта в настоящем пособии опускается).

Математически задача сводится к минимизации следующей целевой функции:

.

Здесь первое слагаемое представляет спрос на перевозки и определяет транспортные издержки на всех транспортных парах рассматриваемой сети, поскольку именно транспортные пары на сети формируют спрос. Второе слагаемое определяет предложение – издержки на дугах сети, которые соответствуют потребному распределению потоков в сети.

Входящие в целевую функцию (в верхние пределы интегралов) величины имогут быть выражены через одну и ту же переменную следующим образом:

;

.

Таким образом, в целевой функции в действительности используются только переменные вида .

Далее можно показать, что рассматриваемая целевая функция F является строго выпуклой по переменной , поэтому решение задачи равновесия в сети существует и является единственным.

Необходимо отметить, что в реальной транспортной ситуации на сети точного равенства между спросом и предложением найти не удается. Всегда наблюдается некоторый разбаланс. Именно поэтому задача о равновесии в транспортной сети сформулирована как оптимизационная задача, в результате решения которой отыскивается именно минимум такого разбаланса.

2.5. Задача распределения перевозок

Задача распределения перевозок – это задача о таком распределении потоков в сети, при котором удовлетворяются сетевые ограничения.

При этом вопрос состоит в том, чтобы найти допустимое решение этой задачи.

Очевидно, что существует много решений такого распределения, поскольку распределение перевозки по сети можно выполнять по различным критериям.

В том случае, когда транспортные потоки для всех элементов вектора потоков определены заранее или заданы, распределение потоком может быть подчинено тем маршрутам, на которых величина издержек или затрат пользователей минимальна. Это согласуется с принципом Вардропа. И в этом случае задача распределения совпадает с задачей равновесия на сети.