- •Содержание Двойной и тройной интегралы.
- •1 Двойной интеграл. Объем цилиндрического тела.
- •2 Свойства двойных интегралов
- •3 Вычисление двойного интеграла
- •4 Двойной интеграл в полярных координатах
- •5 Вычисление площади поверхности
- •6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
- •7. Тройной интеграл
- •8. Физические приложения двойных и тройных интегралов
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •1 Криволинейный интеграл второго рода по координатам
- •2 Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •3 Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
- •4 Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
- •5. Формула Грина.
- •7 Поверхностные интегралы
- •8 Вычисление поверхностного интеграла
- •9 Формула Стокса
- •Элементы теории поля.
- •1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля
- •3 Циркуляция и ротор векторного поля
- •4. Оператор Гамильтона и его применение.
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •2. Однородные уравнения
- •5. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.
- •6. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений.
- •7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •8. Уравнение Эйлера
- •9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Теория функций комплексного переменного.
- •1. Комплексные числа
- •2. Непрерывные функции комплексного переменного
- •3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.
- •4 Сопряжённые гармонические функции
- •5 Конформное отображение
- •6 Постоянство растяжений
- •7 Интеграл по комплексному переменному
- •8 Ряд Лорана
- •9 Классификация изолированных особых точек
- •10 Вычеты
- •11. Вычисление интегралов при помощи вычетов
- •12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию
- •13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного
3 Вычисление двойного интеграла
ABC- ADC- BAD- BCD-
Теорема
Двойной интеграл по правильной области D равен двукратному (повторному) интегралу по той же области D.
Пример 1
D: x = 2; y = x;
4 Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в полярной системе координат задана такая областьD, что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области D, пересекает границу области D не более чем в двух точках (правильная область).
Предположим, что D ограничена кривыми ,и лучамии;;;.
Разобьём область D каким-либо способом на площадки .
(1)
- некоторая точка на площадке
Из теоремы о существовании следует, что при стремлении наибольшего диаметра к нулю, существует предел интегральной суммы (1).
(2)
Площадки будут трёх видов:
не пересекаемые границей, лежащие в области D;
не пересекаемые границей, лежащие вне области D;
пересекаемые границей области D.
- произвольная точка площади
Двойной знак суммирования следует понимать в том смысле, что мы производим сначала суммирование по индексу i, считая k = const, т.е. отбираем слагаемые заключённые между двумя соседними лучами. Внешний знак суммирования означает, что мы собираем вместе все суммы, полученные при первом суммировании.
Найдём выражение . Она должна быть равна разности площадей двух секторов.
Таким образом .
Подынтегральная сумма будет иметь вид
- точка площадки .
Вынесем множитель за знак внутренней суммы, потому что он является общим множителем для всех слагаемых этой суммы.
Предположим, что , аостаётся постоянным, тогда выражение в квадратных скобках будет стремиться к
(3)
Пример
D: кольцо
5 Вычисление площади поверхности
Пусть требуется вычислить площадь поверхности ограниченной линией . Поверхность задана уравнениемгденепрерывна и имеет непрерывные частные производные.
Обозначим проекцию линии на плоскостиOXY через L. Область на плоскости OXY, ограниченную линией L обозначим D. Разобьём произвольным образом D на n элементарных площадок . В каждой площадке возьмём точку. Точкебудет соответствовать на поверхности точка. Через точкупроведём касательную плоскость к поверхности. Её уравнение имеет вид(1)
На этой плоскости выделим такую площадку , которая проектируется наOXY в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок. Пределэтой суммы, когда наибольший из диаметров площадокстремится к нулю будем называть площадью поверхности.
(2)
Займёмся вычислением площади поверхности. Обозначим через угол между касательной плоскостью иOXY.
(3)
Согласно определению предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства
Если или, то соответствующие формулы для вычисления площади поверхности имеют вид
6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
Пусть неотрицательная непрерывная функция в замкнутой областиD. Если объём тела ограниченного сверху поверхностью , снизу областьюD, а сбоку соответствующей цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ и направляющей совпадающей с границей области D, то
Пусть тело ограниченное сверху поверхностью , снизу, причём проекцией обеих поверхностей наOXY служит область D, в которой инепрерывны, причём
Пример 1
Вычислить площадь фигуры ограниченной и
Пример 2
V: z = 0