3 Циркуляция и ротор векторного поля

Линейным интегралом вектора называют

(1)

В силовом поле он выражает работу сил поля при перемещении точки вдоль линии . В случае замкнутой кривой формула (1) называется циркуляцией поля векторапо контуру. Циркуляция характеризует вращательную способность поля по контуру.

Ротором называется

(2)

характеризует вращательную способность этого поля в точке . Она зависит как от координат точки, так и от направления плоскости, и достигает наибольшей величины, когдаперпендикулярно вектору.

Векторное поле, во всех точках которой вихревой вектор равен нулю называют потенциальным. В потенциальном поле линейный интеграл (работа) не зависит от формы линии соединяющей какие-либо две точки, а циркуляция всегда равна нулю.

Векторное поле, одновременно являющееся потенциальным и соленоидальным, называется гармоническим.

(3)

Смысл которого заключается в следующем. Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вихря вектора через поверхность, ограниченную этим контуром.

Пример.

Вычислить циркуляцию поля вектора вдоль окружности,

4. Оператор Гамильтона и его применение.

1) Пусть имеем функцию . Определите ее градиент:(1)

- вектор «набла»

(2а)

(3)

Этот символический вектор называется оператор Гамильтона или набла-оператором. Из формул иследует, что при умножениина скалярную величину и получается: (4)

2) Можно составить скалярное произведение на вектор.:

(5)

3) Составить векторное произведение символического на вектор

(6)

Употребление позволяет очень коротко выражать векторные операции.

4) Векторное поле называется потенциальным векторным полем, если векторесть градиент некоторой скалярной функции u.

В этом случае проекции будут

Из этих равенств следует

или

Вывод: для рассматриваемого ,и(7)

Применяя равенство (7) можно представить: (7а)

Пользуясь свойством, что для умножения векторного произведения на скаляр достаточно умножить на этот скаляр один из сомножителей (7б)

Здесь обладает свойствами обыкновенного вектора:

Векторное произведение вектора на себя равно нулю.

Векторное поле , для которого, называется безвихревым.

Справедливо и обратное утверждение, если векторное поле F является безвихревым, то оно потенциально.

5) Векторное поле F, дивергенция которого равна нулю, т.е. в котором отсутствуют источники, называется солеидальным или трубчатым.

Докажем, что (8)

Так как , то

(8а)

Левую часть этого равенства можно рассматривать как смешанное произведение трех векторов ,и, из которых два одинаковых. Это произведение равно нулю.

6) Пусть имеем скалярное поле . Определим поле градиентов.

(9)

(9) – уравнение Лапласа

Пример 1

A(1; 0; -1)

Найти величину и направление в точкеA.

Пример 2

В каких точках градиент скалярного поля коллинеарен вектору .

Условие коллинеарности:

Это уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

7) Доказать, что .

8) Доказать, что

Дифференциальные уравнения

1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида (1), связывающие между собой аргументx, искомую функцию и ее производную, называются дифференциальными уравнениями первого порядка.

Если (1) можно записать в виде , оно разрешимо относительно производной. Это уравнение записываютили

Решением (интегралом диф. уравнения первого порядка) называется любая функция , которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

График функции в этом случае называют интегральной кривой.

Процесс нахождения решения данного диф. уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Задача отыскания решения диф. уравнения первого порядка (1), удовлетворяющая заданному начальному условию илиназывается задачей Коши.

Геометрический смысл задачи Коши:

Требуется найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через точку . Общим решением уравнения (1) называется, гдеC – произвольная постоянная, что означает, что при любом значении С, она является решением этого уравнения.

Для любого допустимого условия найдется такое значение, что.

В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения можно записывать так: -общий интеграл уравнения.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости OXY

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая получается из общего решения при конкретном значенииC=C.

Частным интегралом называется равенство , полученное из общего интеграла при фиксированном значенииC.

Теорема

Пусть дано дифференциальное уравнение

Функция иНепрерывны в некоторой областиD плоскости OXY.Тогда существует единственное решениеэтого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

В каждой точке числовыражает угловой коэффициент касательных к кривой, поэтому каждой точке областиD уравнение ставит в соответствие некоторое направление. Геометрически его можно изобразить стрелкой, проходящей через эту точку. Тем самым уравнение, гдеопределяет поле направлений на плоскости.

Множество точек , в которыхили(k-постоянная), называется изоклиной дифференциального уравнения. В точках изоклины направление поля одинаково, т.е. направление касательных в точках изоклины (или соответственные стрелки параллельны). Придавая k близкие числовые значения можно построить достаточно густую сеть изоклин и с их помощью приближенно нарисовать вид интегралов кривых, т.е. решение дифференциального уравнения. Этот метод (изоклин) или графический (геометрический) метод решения дифференциального уравнения предпочитают в случае, когда решение общее или частное не выражается в элементарных функциях, т.е. интеграл не берется. Некоторые дифференциальные уравнения могут иметь такие решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной постоянной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми.

Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения.

Уравнения вида называют уравнениями с разделяющимися переменными

(4)

Уравнению (3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на

Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями (3)

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4