§2. Линейная зависимость векторов, базис на прямой, на плоскости и в пространстве

В курсе линейной алгебры было дано понятие линейной зависимости векторов для произвольного n-мерного векторного пространства. Напомним его.

Определение 8. Система векторов а₁, а₂, …, а_k является линейно зависимой, если найдется нетривиальная линейная комбинация векторов

α₁ а₁ + α₂ а₂ + … + α_k а_k

равная нулевому вектору.

Мы дали запись векторов без стрелочек и, не выделяя жирным шрифтом, подчеркнув тем самым, что это вектора произвольного n-мерного векторного пространства. Нетривиальная линейная комбинация векторов – это алгебраическая сумма векторов α₁ а₁ + α₂ а₂ + … + α_k а_k c некоторыми коэффициентами α₁, α₂, …,α_k, где хотя бы один отличен от нуля. Кроме этого определения было дано еще одно эквивалентное определение линейной зависимости векторов.

Определение 9. Система векторов а₁, а₂, …, а_k называется линейно зависимой, если один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Рассматривая вектора на прямой, плоскости и в пространстве с учетом введенных операций сложения и умножения на число, можно составлять суммы векторов, умноженных на некоторые коэффициенты

α₁ а₁ + α₂ а₂ + … + α_k а_k .

Такие суммы будем называть линейными комбинациями.

Линейные комбинации векторов обладают следующими очевидными свойствами: если векторы а₁, а₂, …, а_k коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна; если векторы а₁, а₂, …, а_k компланарны, то любая их линейная комбинация с ними компланарна. Это следует из того, что вектор αа коллинеарен вектору а, а сумма векторов лежит в той же плоскости, что и слагаемые.

Пусть на прямой дан единичный вектор, т. е. вектор, который принят за единицу измерения длин, а его направление объявлено положительным на всей этой прямой. Можно сказать, что наша прямая превращена в ось.

Определение 10. Отношение длин любого вектора а на данной оси к длине единичного вектора, взятое со знаком «+», если вектора направлены в одну сторону, и со знаком «–», если вектора противоположно направлены, называется координатой вектора а на данной оси. (Также используются синонимы: компонента, алгебраическое значение вектора.)

Пусть дан вектор , тогда его координату на оси обозначим (AB). Из определения вытекают следующие свойства:

1. Два вектора на данной прямой равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

2. Если два вектора имеют одну и ту же длину, но противоположны по направлению, то их координаты имеют один и тот же модуль, но противоположны по знаку: (АВ) + (ВА) = 0.

3. Координата единичного вектора равна 1.

4. При любом расположении точек А, В и С на оси имеет место числовое равенство (АВ) + (ВС) = (АС).

При рассмотрении n-мерных векторных пространств, было введено понятие базиса. Мы определяли базис как максимальную линейно независимую систему векторов. Максимальность понимается в том смысле, что если к системе добавить любой вектор, она станет линейно зависимой.

Кроме того, в курсе алгебры доказывалось утверждение, что если система векторов линейно независима и любой вектор векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов системы, то данная система векторов является базисом.

Как видно из определения координатной оси, на прямой базисом является любой ненулевой вектор.

Определение 11. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Определение 12. Если е₁, е₂, е₃ – базис в пространстве и а разложен по базису с коэффициентами α₁, α₂, α₃

а = α₁ е₁ + α₂ е₂ + α₃ е₃,

то числа α₁, α₂, α₃ называются координатами вектора а в данном базисе в пространстве.

Аналогично, если е₁, е₂ – базис на плоскости и вектор а разложен по этому базису

а = α₁ е₁ + α₂ е₂ ,

то числа α₁, α₂ называются координатами вектора а в базисе е₁, е₂ на плоскости.

Лемма 1. Координаты вектора на прямой, плоскости и в пространстве определяются однозначно.

Доказательство. Докажем единственность разложения по базису для пространства.

Пусть а = а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃ и а = а′₁е₁ + а′₂е₂ + а′₃е₃. Вычтем второе равенство из первого:

а – а = ( а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃) – (а′₁е₁ + а′₂е₂ + а′₃е₃) =

= (а₁ – а′₁) е₁ + (а₂ – а′₂) е₂ + (а₃ – а′₃) е₃ = 0.

Мы получили линейную комбинацию базисных векторов е₁, е₂, е₃ равную нулю. Учитывая линейную независимость базисных векторов, получаем, что все коэффициенты линейной комбинации должны быть равны нулю, т.е. а₁ = а′₁, а₂ = а′₂, а₃ = а′₃.

Доказательство леммы для случая прямой и плоскости аналогично.

Лемма доказана.

Следствие. Равные векторы имеют одинаковый набор координат.

Заметим, что при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Действительно, пусть а = а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃, тогда

λа = λ(а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃) = (λа₁) е₁ + (λа₂) е₂ + (λа₃) е₃.

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Действительно, если а = а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃ и b = b₁е₁ + b₂е₂ + b₃е₃, то

a + b = (а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃) + (b₁е₁ + b₂е₂ + b₃е₃) =

= (а₁ + b₁) е₁ + (а₂ + b₂) е₂ + (а₃ + b₃) е₃.

Понятие линейной зависимости векторов, играющее большую роль в алгебре, в курсе аналитической геометрии наполняется новым смыслом. Приведем для иллюстрации несколько утверждений.

1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны.

2. Любые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны.

3. Каждые четыре вектора линейно зависимы.