§7. Примеры решения типовых задач

В данном параграфе рассмотрим задачи, связанные с различными системами координат, делением отрезка в заданном отношении.

Пример 1.

Даны координаты точек: А(4; 3), В(7; 6), С(2; 11). Докажем, что треугольник АВС прямоугольный.

Найдем длины сторон треугольника АВС. С этой целью используем формулу, позволяющую находить расстояние между двумя точками на плоскости:

.

Длины сторон будут равны:

,

,

.

Учитывая, что для сторон данного треугольника выполняется теорема Пифагора

,

то треугольник АВС – прямоугольный.

Пример 2.

Даны точки А(2; 1) и В(8; 4). Найдем координаты точки М(х; у), которая делит отрезок в отношении 2:1.

Напомним, что точка М(х; у) делит отрезок АВ, где A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), в отношении λ : μ, если ее координаты удовлетворяют условиям:

, .

Найдем точку М для данного отрезка

, .

Таким образом, точка М(6; 3) делит отрезок АВ в отношении 2:1.

Пример 3.

Найдем прямоугольные координаты точки А(3π/4), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Учитывая формулы перехода от полярной к прямоугольной системе координат

x = r cosφ, y = r sinφ,

получаем

,

.

В прямоугольной декартовой системе координат координаты точки А(–2; 2).

Пример 4.

Найдем полярные координаты точек, имеющих следующие прямоугольные координаты:

А(; 2),В(–4; 4), С(–7; 0).

Используем формулы перехода от прямоугольных координат к полярным:

,

.

Получим координаты для точки А:

,

, .

Таким образом А(4; π/6) – полярные координаты (рис. 15).

Для точки В (рис. 16) имеем

,

, .

Следовательно, полярные координаты точки В(, 3π/4).

Рассмотрим точку С(–7; 0) (рис. 17). В этом случае

,

, .

Можно записать полярные координаты точки С(7; π).

Пример 5.

Найдем длину вектора a = 20i + 30j – 60k и его направляющие косинусы.

Напомним, что направляющие косинусы – это косинусы углов, которые вектор a(a₁, a₂, a₃) образует с осями координат:

, ,,

где .

Применим эти формулы к данному вектору, получим

,

,

.

Пример 6.

Нормируем вектор a = 3i + 4j – 12k.

Нормировать вектор – это найти вектор единичной длины а₀, направленный также как и данный вектор. Для произвольного вектора a(a₁, a₂, a₃) соответствующий вектор единичной длины можно найти, умножив a на дробь .

.

В нашем случае и вектор единичной длины:

.

Пример 7.

Найдем скалярное произведение векторов

a = 4i + 5j + 6k и b = 3i – 4j + k.

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно умножить соответствующие координаты и полученные произведения сложить. Так, для векторов a = a₁i + a₂j + a₃k и b = b₁i + b₂j + b₃k скалярное произведение имеет вид:

(a, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

Для данных векторов получаем

(a, b) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.

Пример 8.

Покажем, что векторы a = 2i – 3j + 5k и b = i + 4j + 2k перпендикулярны.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Найдем скалярное произведение:

(a, b) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.

Таким образом, векторы а и b перпендикулярны.

Пример 9.

Выясним, при каком значении параметра m векторы a = 2i + 3j + mk и b = 3i + mj – 2k перпендикулярны.

Найдем скалярное произведение векторов а и b:

(a, b) = 2∙3 + 3∙m – 2∙m = 6 + m.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Приравниваем к нулю произведение (а, b):

6 + m = 0.

При m = – 6 векторы а и b перпендикулярны.

Пример 10.

Найдем скалярное произведение (3а + 4b, 2а – 3b), если |a| = 2, |b| = 1 и угол φ между а и b равен π/3.

Воспользуемся свойствами скалярного произведения:

(αa, βb) = αβ(a, b),

(a + b, c) = (a, c) + (b, c),

(a, b) = (b, a)

(a, a) = |a|²,

а также определением скалярного произведения (a, b) = |a|∙|b|∙cosφ. Перепишем скалярное произведение в виде

(3a + 4b, 2a – 3b) = 6(a, a) – 9(a, b) + 8(b, a) – 12(b, b) =

= 6|a|² – (a, b) – 12|b|² = 6∙2² – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1² = 11.

Пример 11.

Определим угол между векторами

a = i + 2j + 3k и b = 6i + 4j – 2k.

Для нахождения угла воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов

(a, b) = |a|∙|b|∙cosφ,

где φ – угол между векторами а и b. Выразим cosφ из этой формулы

.

Учитывая, что (а, b) = 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8, ,, получаем:

.

Следовательно, .

Пример 12.

Найдем векторное произведение векторов

a = 5i – 2j + 3k и b = i + 2j – 4k.

Известно, что векторное произведение векторов a = a₁i + a₂j + a₃k и b = b₁i + b₂j + b₃k находится по формуле

.

Следовательно, для данных векторов

= 2i + 23j + 12k.

Рассмотрим пример, где для нахождения модуля векторного произведения будет использоваться определение векторного произведения, а не выражение его через координаты сомножителей, как было в предыдущем примере.

Пример 13.

Найдем модуль векторного произведения векторов а + 2b и 2а – 3b, если |a| = 1, |b| = 2 и угол между векторами а и b равен 30°.

Из определения векторного произведения видно, что для произвольных векторов а и b его модуль равен

|[a, b] | = |a| ∙ |b| ∙ sin φ.

Учитывая свойства векторного произведение

[a, b] = – [b, a],

[a, a] = 0,

[αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c],

получаем

[a + 2b, 2a – 3b] = 2[a, a] – 3[a, b] + 4[b, a] – 6[b, b] = –7[a, b].

Значит, модуль векторного произведения равен

|[a + 2b, 2a – 3b]| = |–7[a, b]| = 7 ∙ |a| ∙ |b| ∙ sin 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.

Пример 14.

Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах

a = 6i + 3j – 2k и b = 3i – 2j + 6k.

Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Найдем векторное произведение по формуле:

,

где a = a₁i + a₂j + a₃k и b = b₁i + b₂j + b₃k. Затем вычислим его модуль.

Для данных векторов получаем

= 14i – 42j – 21k.

Следовательно, площадь параллелограмма равна

S = |[a, b]| = (кв. ед.).

Пример 15.

Вычислим площадь треугольника с вершинами А(1;2;1), В(3;3;4), С(2;1;3).

Очевидно, что площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и.

В свою очередь, площадь параллелограмма, построенного на векторах и, равна модулю векторного произведения []. Таким образом

|[]|.

Найдем координаты векторов и, вычитая из координат конца вектора соответствующие координаты начала, получим

= (3 – 1)i + (3 – 2)j + (4 – 1)k = 2i + j + 3k,

= (2 – 1)i + (1 – 2)j + (3 – 1)k = i – j + 2k.

Найдем векторное произведение:

[,] = 5i – j – 3k.

Найдем модуль векторного произведения:

|[]| = .

Следовательно, можем получить площадь треугольника:

(кв. ед.).

Пример 16.

Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах a + 3b и 3a – b, если |a| = 2, |b| = 1 и угол между а и b равен 30°.

Найдем модуль векторного произведения, используя его определение и свойства, указанные в примере 13, получим

[a + 3b, 3a – b] = 3[a, a] – [a, b] + 9[b, a] – 3[b, b] = –10[a, b].

Значит, искомая площадь равна

S = |[a + 3b, 3a – b]| = |–10[a, b]| = 10 ∙ |a| ∙ |b| ∙ sin 30° =

= 10∙2∙1∙0,5 = 10 (кв. ед.).

Следующие примеры будут связаны с использованием смешанного произведения векторов.

Пример 17.

Показать, что векторы a = i + 2j – k, b = 3i + k и с = 5i + 4j – k компланарны.

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Для произвольных векторов

a = a₁i + a₂j + a₃k, b = b₁i + b₂j + b₃k, c = c₁i + c₂j + c₃k

смешанное произведение находим по формуле:

.

Для данных векторов получаем

.

Таким образом, данные векторы компланарны.

Пример18.

Найдем объем треугольной пирамиды с вершинами А(1;1;1), В(3;2;1), С(2;4;3), D(5;2;4).

Найдем координаты векторов ,и, совпадающих с ребрами пирамиды. Вычитая из координат конца вектора соответствующие координаты начала, получаем

= 2i + 3j,

= i + 3j + 2k,

= 4i + j + 3k.

Известно, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах ,и. Таким образом,

.

В свою очередь, объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения

V_парал = |(,,)|.

Найдем смешанное произведение

(,,) = .

Итак, объем пирамиды равен

(куб. ед.).

В следующих примерах покажем возможное применение векторной алгебры.

Пример 19.

Проверим, являются ли коллинеарными вектора 2а + b и а – 3b, где a = 2i + j – 3k и b = i + 2j + 4k.

Найдем координаты векторов 2а + b и а – 3b:

2а + b = 2(2i + j – 3k) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k,

а – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k) = –i – 5j – 15k.

Известно, что у коллинеарных векторов пропорциональные координаты. Учитывая, что

,

получаем, что вектора 2а + b и а – 3b неколлинеарны.

Эту задачу можно было решить и другим способом. Критерием коллинеарности векторов является равенство нулю векторного произведения:

[2a + b, a – 3b] = 2[a, a] – 6[a, b] + [b, a] – 3[b, b] = –7[a, b].

Найдем векторное произведение векторов а и b:

= 10i – 11j + 3k ≠ 0.

Следовательно,

[2a + b, a – 3b] = –7[a, b] ≠ 0

и векторы 2а + b и а – 3b неколлинеарны.

Пример 20.

Найдем работу силы F(3; 2; 1), когда точка ее приложения А(2; 4;–6), двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В(5; 2; 3).

Известно, что работа силы – это скалярное произведение силы F на вектор перемещения .

Найдем координаты вектора :

= 3i – 2j + 9k.

Следовательно, работа силы F по перемещению точки А в точку В будет равна скалярному произведению

(F, ) = 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.

Пример 21.

Пусть сила F( 2;3;–1) приложена к точке А(4;2;3). Под действием силы F точка А перемещается в точку В(3;1;2). Найдем модуль момента силы F относительно точки В.

Известно, что момент силы равен векторному произведению силы на перемещение. Найдем вектор перемещения :

= (3 – 4)i + (1 – 2)j + (2 – 3)k = – i – j – k.

Найдем момент силы как векторное произведение:

= – 4i + 3j + k.

Следовательно, модуль момента силы равен модулю векторного произведения:

|[F, ]| = .