- •Программа курса «Высшая математика»
- •Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел 2. Векторная алгебра
- •Раздел 3. Элементы аналитической геометрии
- •Литература
- •Контрольная работа №1
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вопросы к защите контрольных работ и для подготовки к экзаменам семестр 1
- •1. Линейная алгебра
- •2. Векторная алгебра
- •3. Элементы аналитической геометрии
Вариант 25
1.Перемножить матрицы:.
2.Вычислить определители:а)б).
2. Решить систему линейных уравнений:а)методом Крамера,б)при помощи обратной матрицы,в)методом Гаусса.
4.Найти общее решение методом Гаусса
5.Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:
.
6.Показать, что векторыa,b,c, образуют базис. Найти разложение вектораdпо этому базису, еслиa a = (1;1;0),b = (–4;3;2),c = (–1;2;1),d = (1;–1;–1).
7.Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:
а) (2a+3b)(b–3a), б) |(2a+3b)(b–3a)|,
где |a|=6, |b|=2, a^b=/6.
8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти:а)объем пирамиды,б)площадь граниABC,в)косинус угла между ребрамиABиAC,г)уравнение прямойАВ,д)уравнение плоскостиАВС, еслиA(–3;–2;2),B(1;1;3),C(2;1;–1),D(2;1;4).
9.Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:
и .
10.Построить кривую= 4sin(4), заданную в полярных координатах.
11.Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точекF1(–5;0) иF2(3;0) есть величина постоянная и равнаp=10. Сделать чертеж.
12.Привести уравнение 3x2–5y2+18x+10y+37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.
Вопросы к защите контрольных работ и для подготовки к экзаменам семестр 1
1. Линейная алгебра
Матрицы и действия с ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.
Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке(столбцу). Решение системnлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными по правилу Кремера.
Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы.
Совместимость систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы.
Решение системы nлинейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
2. Векторная алгебра
Геометрическое понятие вектора. Линейные операции над векторами. Понятие о линейной зависимости системы векторов. Базис векторов. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису. Длина вектора в ортонормированном базисе.
Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора.
Преобразование координат при переходе к новому базису.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения через координаты векторов. Формула для угла между векторами.
Правая левая тройка векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов. Вычисление векторного произведения через координаты векторов. Геометрический смысл векторного произведения.
Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Вычисление смешанного произведения векторов через координаты векторов. Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
3. Элементы аналитической геометрии
Декартова система координат. Координаты точки. Координаты вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек. Расстояние между точками. Деление отрезка в заданном отношении.
Уравнение линии на плоскости. Алгебраические кривые. Полярная система координат.
Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.
Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.