4. Проверка гипотезы о соответствии результатов наблюдений нормальному распределению

Соответствие полученных результатов наблюдения нормальному распределению можно проверить методами, предусмотренными ГОСТ 11.00674 и ГОСТ 8.20776.

Для проверки соответствия опытного распределения случайной величины Х нормальному распределению при числе наблюдений n ≥ 100 используют критерии Колмогорова и Пирсона или Мизеса-Смирнова; при 50 > n > 15 используют составной критерий, приведенный в приложении к ГОСТ 8.207-76.

Наблюдение случайной величины Х должны проводится в практически одинаковых условиях, используемая совокупность должна быть однородной, так как нарушение этих требований может привести к ошибочным выводам. При этом необходимо применить средства измерения ценной деления, не превышающей 1/5 предполагаемой величины среднего квадратического отклонение исследуемого распределения.

Рассмотрим подробно два критерия: и составной.

1. КРИТЕРИИ (ХИ-КВАДРАТ ПИРСОНА)

Результаты наблюдений случайной величины Х располагают в порядке возрастания х₁ ≤ х₂ ≤ … х_n. Вычисляют размах ширину интервала:

(11)

Выбор ширины интервала h зависит от объема n измерений, размаха и от цели статистических исследований. Следует задавать h таким образом, чтобы получалось не менее 6 и не более 20 интервалов. Рекомендуют следующие значения r:

n	50	100	500	1000	10000
r	8	10	13	15	20

Границы интервалов выбирают так, чтобы результаты измерений не совпадали с ними. Дальнейшие расчеты ведут, последовательно заполняя графы таблицы (табл.5). В 1-ю графу таблицы помещают границы интервалов, располагая их в порядке возрастания. В 2-ю графу записывают значение середины каждого интервала. В 3-ю графу вносит частоты попадания результатов измерения в соответствующие интервалы, складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают внизу. 4-ю графу заполняют так: в клетке строки, содержащей наибольшую частоту, пишут 0(нуль); над нулем пишут последовательно -1,-2,-3 и т.д., а под нулем 1,2,3 и т.д. В 5-ю графу заносят произведение частоты попадания результата измерений в интервал В обеих графах находят сумму результатов. По формулам (12) и (13) рассчитывают условные моменты:

(12)

(13)

Среднее арифметическое значение результатов измерений определяют по формуле:

, (14)

где - середина интервала, соответствующая величине равной нулю (метод ложного нуля).

Дисперсию находят по формуле:

И рассчитывают среднее квадратическое отклонение:

(16)

В 7-ю графу заносят разность между Х_0i и . В 8-ю помещают отношение разности к среднему квадратическому отклонению. В 9-й графе приводят значения функции нормального распределения, найденные по таблице для соответствующего значения (см. прил. 2). В 10-й графе записывают ординаты рассчитанные по формуле

(17)

В 11-й графе помещают разницу между и . В 13-й графе приводят значения сумма которых равна расч.

Таблица 5

Данные для проверки согласования опытного

и теоретического распределения по критерию

xi ÷ xi-1				miui					округляют до целого	mi -yi	(mi -yi)^2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
		n=mi		=	=				=			=x^2

Затем выбирают уровень значимости и по его величине и значению числа степеней свободы К = r - 3 по таблице (см.прил.3) находят,сравнивают его с расчетным.

Если , то полученные результаты измерений соответствуют нормальному распределению, если , то гипотезу с нормальности результатов отвергают.

В прямоугольной системе координат наносят точки с координатами x_i и y_i и соединяют их плавной кривой.

Пример. Выполнено измерение диаметров 150 цапф передней оси. Отклонение диаметра от номинального размера приведены в табл. 6. Проверить, согласуются ли данные выборки с гипотезой о нормальном распределении.

Таблица 6

Первичные данные отклонений от номинального диаметра цапф

Отклонение, мкм	Частота появлений	Отклонение, мкм	Частота появлений
25 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	1 4 2 7 4 11 7 5 7 5 10 10	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52	7 12 12 10 7 3 3 8 5 4 2 2

Размах отклонений составляет R = 52 – 25 = 27 мкм. Выбираем число интервалов r = 10, рассчитываем ширину интервала:

Находим границы интервалов таким образом, чтобы они не совпадали с результатами измерений. Составляем таблицу обработки данных (табл. 7). В 1-й графе приведены значения интервалов. Во 2-ю графу поместили Х_0i – значение середины каждого интервала. В 3-й графе представлены частоты появления результатов измерений в каждом из интервалов, подсчитаны по данным табл. 6. Сумма частот соответствует числу измерений. Дальнейшая обработка данных представлена в табл. 7 (графы 4,5,6). По формулам (12), (13) рассчитаны моменты М^*₁ и М^*₂ и по формулам (14) и (15) – среднее арифмитическое значение результатов измерений и среднее квадратическое отклонение:

Таблица 7

Расчет критериев ² (150 измерений, h = 3мкм, r = 10)

Xi – Xi+1	X0i	mi	ui	miui	miui^2	X0i -		(ti)	yi	mi-yi	(mi-yi)^2	^2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
24.5 – 2.5 27.5 – 30.5 30.5 – 33.5 33.5 – 36.5 36.5 – 39.5 39.5 – 42.5 42.5 – 45.5 45.5 – 48.5 48.5 – 51.5 51.5 – 54.5	29 32 35 38 41 44 47 50 53	1 41.5 13 23 22 29 29 16 11 21.13	-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4	-5 -16 -39 -46 -22 0 29 32 33 8	25 64 117 92 22 0 29 64 99 32	-14,48 -11,48 -8,48 -5,48 -2,48 0,52 3,52 6,52 9,52 12,52	-2,54 -2,01 -1,49 -0,96 -0,43 0,09 0,61 1,14 1,67 2,19	0,01585 0,05292 0,13147 0,25164 0,36371 0,39733 0,33121 0,20831 0,09893 0,03626	1 4,5 10 20 29 31 26 16 8 3,11	0 3 3 7 2 3 0 2	0 9 9 49 4 9 0 4	0 0,9 0,45 1,68 0,13 0,35 0 36
		150		-26	544				148			3,87

,

В графе 7 определяем разность между серединной каждого интервала и среднем арифметическим всех измерений. Вычисляем t_i по таблице (см. прил. 2), находим ординату нормального распределения (в графе 9) и

умножаем её на отношение:

, получаем координату у_i теоретической кривой нормального распределения (графа 10). Полученное значение у_i должно быть не менее 5. Если в некоторых интервалах нарушено это требование, то соседние интервалы объединяют, поэтому вместо 10 интервалов для теоретической кривой имеем 8. Находим разность (графа 11) и квадрат разности (графа 12) реальной (m_i) и теоретической у_i частот попадания в интервал и рассчитываем критерий ² (графа 13). Вычисляем значение числа степеней свободы: К = 8 – 3 = 5 и для К = 5 и уровня значимости  = 0,05 по таблице (см. прил. 3) определяем _² = 11,1. Так как 3,87  11,1, ²_расч  _² делаем вывод, что совокупность полученных данных соответствует нормальному распределению. В прямоугольной системе координат наносим точки с координатами x_i и y_i; соединяем их плавной кривой и получаем вид плотности вероятностей нормального распределения Гаусса.