1.1. Экстремум функции одной пере­менной

При решении задачи оптимизации должна быть известна целевая функция f(x), определенная на некотором множестве X евклидова простран­ства Rⁿ. Ставится задача отыскания минимума этой функции на этом множе­стве. Эту задачу можно записать в виде

(1.1)

Множество X называют допустимым множеством задачи (1.1), а точки, принадлежащие X, допустимыми точками. Задачу поиска максимума функ­ции f(x) можно записать, заменив в (1.1) min f(x) на max f(x).

1.Определения и условия существования экстремума. Введем определения глобального и локального минимумов функции одной переменной, т.е. при x  R¹.

Определение 1.1. Точка x⁰  X называется точкой глобального минимума функции f(x) на множестве X  R¹, если x⁰  X и

f(x⁰)  f(x) (1.2)

для всех x  X, x  x⁰.

Определение 1.2. Точка x⁰  X называется точкой строгого глобального минимума функции f(x) на множестве X  R¹, если x⁰  X и

f(x⁰) < f(x) (1.3)

для всех x  X, x  x⁰.

Определение 1.3. Точка x⁰  X доставляет локальный минимум функции f(x) на множестве X, если при достаточно малом  > 0 для всех x  x⁰, x  X, удовлетворяющих условию

| x - x⁰ |  ,

выполнено неравенство

f(x⁰)  f(x). (1.4)

Если неравенство (1.4) – строгое, то точку x называют точкой строгого локального минимума функции f(x). Понятно, что глобальный минимум является и локальным, но не наоборот.

Все определения для максимума функции получаются заменой в выражениях (1.2) - (1.4) знака неравенства на обратный.

Если функция имеет на множестве X минимум или максимум, но характер точки не определен, то говорят, что в этой точке функция имеет экстремум.

Обсудим вопрос о существовании экстремума функции. Если функция определена в незамкнутой или неограниченной области, то экстремум функции не существует. Экстремум функции не существует, если функция неограниченно возрастает или убывает.

Теорема Вейерштрасса выделяет класс функций задач оптимизации имеющих решение.

Теорема 1.1. Непрерывная функция, определенная на замкнутом ограниченном множестве, достигает своего минимума или максимума (во внутренней или граничной точке).

После того, когда сформулировали задачу поиска экстремума и выяснили условия существования, необходими указать признаки, по которым можно найти точки экстремума x⁰. Эти признаки определяются из необходимых и достаточных условий экстремума.

2. Необходимое условия экстремума функции одной переменной. Выясним условия, которые должны выполняться в точках локального экстремума функции. Рассмотрим те случаи, когда множество X представляет собой вещественную ось. Рассуждения сохраняют силу и для задач, в которых множество X не совпадает со всей вещественной осью, но открыто, т. е. состоит только из внутренних точек, либо экстремум достигается в его внутренней точке. Случаи, когда экстре­мум реализуется на границе множества X, специально исследуются при решении задач условной оптимизации.

При выводе условий экстремума будем предполагать, что функция f(x) имеет в окрестности исследуемой точки х непрерывные производные до второго порядка включи­тельно.

Теорема 1.2. Для того чтобы функция f(х), опре­деленная на вещественной оси, имела безусловный локальный экстремум в точке х⁽⁰⁾, необходимо, чтобы выполнялось условие

(1.5)

Доказательство. Пусть в точке х⁰ функции f(х) имеет локальный безусловный минимум (случай максимума рассматривается аналогично). Тогда, согласно определению 1.3, найдется такая окрестность этой точки радиуса , что для всех , удовлетворяющих неравенству ||  ,

(1.6)

По формуле Тейлора имеем

где O(²) – бесконечная малая выше первого порядка, удовлетворяющая условию

(1.7)

Предположим, что f (х)^  0, и выберем  = -f(x⁰), где  > 0  любое малое число такое, что |f (x⁰)| < .

Тогда получим

Тогда, в силу условия (1.7), найдется такое малое ^*? что второе слагаемое в правой части последнего выражения будет по абсолютной величине меньше первого, т.е. f(x⁰+ ) – f(x⁰) < 0, что противоречит предположению (1.6), т.е. тому, что в точке x⁰ функция f(x) имеет локальный безусловный минимум.

Теорема доказана.

Точка, в которой у функции производная равна нулю, называется стационарной. Эти точки имеют горизонтальную касательную. Не все точки из стационарных точек будут точками локального минимума. Они могут быть также точками перегиба.

3. Достаточные условия экстремума функции одной переменной .Для того чтобы определить, является ли точка экстремума точкой минимума или максимума, надо проверить выполнение достаточных условий.

Теорема 1.3. Для того чтобы функция f(x) в стационарной точке имела безусловный локальный минимум (максимум), достаточно, чтобы ее вторая производная была в этой точке положительна (отрицательна):

(1.8)

Доказательство. Поскольку точка х⁰  стационарная, разложение функции f(х) в ряд Тейлора в окрестности х⁰ имеет вид

(1.9)

При f"(х⁰)  0 для достаточно малых  знак правой части этого выражения определяется знаком второй производ­ной f(x⁰), т. е. из (1.19) вытекает неравенство

Отсюда следует, что x⁰ точка строгого локального минимума функции f(x) что и требовалось доказать.

Как определить экстремум функции, если в стационарной точке равны нулю производные второго и более высоких порядков. Приведем обобщенные достаточные условия экстремума функции одной переменной.

Предположим теперь, что в стационарной точке первая и вторая производные функции f(х) обращается в нуль, т. е.

По формуле Тейлора функцию представим в виде

В малой окрестности точки x⁰ функция f(x) – нечетная и меняет знак в зависимости от знака . Поэтому функция f(x) в окрестности точки x⁰ не выполнены условия минимума (1.4) и максимума. Точка x⁰ – точка перегиба.

Если в точке x⁰ и третья производная равна нулю, то можно убедиться, что, если производной четвертого порядка f ⁽⁴⁾(x⁰) > 0 (f ⁽⁴⁾(x⁰) < 0),то в этой точке имеет место минимум (максимум).

Имеет место следующая теорема, которая определяет достаточные условия общего вида.

Теорема 1.4. Пусть функция одной переменной f(x) в точке x⁰ имеет непрерывные производные до k- го порядка включительно и

Тогда, если k – четное число, то функция f(х) имеет в точке х⁰ локальный максимум при f(х⁰) < 0 и локаль­ный минимум при f(x⁽⁰⁾)>0. Если k нечетно, то функция f(x) не имеет в точке х⁽⁰⁾ ни максимума, ни минимума.

Отметим, что для определения точек, где выполняются необходимые условия экстремума, надо решить одно уравнение с одним неизвестным, в общем случае нелинейное. Современные пакеты прикладных программ позволяют численными методами найти корни уравнения.. Корни можно определить приближенно, построив график функции Задав начальное приближение, используя программу решения уравнения с требуемой точностью можно уточнить значение корней.

Корни этих уравнений определяют некоторое множество «претен­дентов» на экстремум — значений переменной х, среди которых только и могут находиться интересующие нас точки х, доставляющие максимум или минимум функции f(x). Для того чтобы среди этих точек разыскать, напри­мер, точки минимума, мы должны еще в каждой точке множества «претендентов» проверить выполнение доста­точных условий.