3°. Определение параболы, каноническое уравнение, исследование формы.

Пусть на плоскости заданы точка и прямая , не проходящая через эту точку.

Определение 5. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от точки и прямой . Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой параболы.

Рис. 5

Составим уравнение параболы. Выберем прямоугольную систему координат так, что ось проходит через фокус перпендикулярно к директрисе в направлении от директрисы к фокусу . Начало координат возьмём в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения оси с директрисой . Пусть расстояние между фокусом и директрисой (фокальный параметр): тогда и уравнение директрисы будет иметь вид .

Пусть – произвольная точка параболы. Обозначим через и назовём фокальным радиусом точки расстояние от до фокуса . Расстояние от точки до директрисы обозначим . Согласно определению параболы равенство

является необходимым и достаточным условием принадлежности точки данной параболе. Так как

,

то соотношение

(16)

представляет собой уравнение параболы в выбранной системе координат.

Возводя обе части равенства (16) в квадрат, получаем

,

откуда

. (17)

Покажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (17), то точка лежит на параболе. Действительно, из (17) следует, что . Тогда . Используя это, получаем

.

Таким образом, для того чтобы точка с координатами принадлежала параболе, необходимо и достаточно, чтобы её координаты удовлетворяли уравнению (17). Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы.

Итак, для точки параболы выполняется . Так как для точек эллипса и гиперболы отношение , то для параболы естественно положить эксцентриситет равным единице.

Из уравнения (17) видно, что все точки параболы лежат в первой и четвёртой четвертях. Ввиду того, что уравнение (17) содержит координату только в чётной степени, то парабола симметрична относительно оси , и поэтому достаточно исследовать её форму в первой координатной четверти. В этой четверти рассматриваемая парабола описывается уравнением . Функция является монотонно возрастающей, выпуклой вверх, так как

, .

Наклонных асимптот вида для графика функций в первой четверти нет (следовательно, нет их и для графика функции в четвёртой четверти), поскольку иначе

, .

У параболы нет вертикальных асимптот, так как функция непрерывна на . Таким образом, парабола имеет, изображённый на рис. 6.

Рис. 6

Ось симметрии параболы называется её осью. Точка пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

Укажем теперь геометрический смысл фокального параметра . Для этого через фокус проведём прямую, перпендикулярную к оси параболы (см. рис. 6). Уравнение этой прямой имеет вид . Найдём координаты точек пересечения прямой с параболой:

Следовательно, , , .

Итак, фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к оси параболы, восстановленного из фокуса до точки пересечения с параболой. В этом смысле фокальный параметр характеризует форму параболы.