Тема № 2 Регрессионный анализ установившихся режимов

электрической системы

Для этой цели целесообразно использование регрессионного моделирования сложной системы. При этом с использованием имеющихся программ расчета установившегося режима на ЭВМ проводятся целенаправленные исследования, в результате которых получаются регрессионные модели для анализа или управления. Такие модели могут быть получены при регрессионном анализе или методом планирования многофакторного эксперимента (МПЭ).

При этом уравнение связи между выходными параметрами У и входными переменными х₁, х₂,…,х_n записывается в виде некоторого полинома – отрезка ряда Тейлора:

, (14.1)

где – коэффициенты регрессии.

При рассмотрении стационарных режимов ЭМС взаимосвязи между параметрами обычно определяются уравнениями не выше второго порядка, а при небольших пределах изменений эти связи могут быть даже линейными. Поэтому уравнение (14.1) может описывать большой круг задач установившихся режимов ЭМС. Задача отыскания статической связи (1) сводится к нахождению коэффициентов уравнения регрессии по результатам экспериментов в ряде точек исследуемого пространства. При этом для построения линейных моделей используется полный или дробный факторный эксперимент, а для построения квадратичной модели – ортогональное центральное композиционное планирование или рототабельное планирование .

Использование МПЭ для получения уравнения регрессии (14.1) отличается от обычной процедуры метода наименьших квадратов организованностью эксперимента (расчета), который проводится в определенных точках и в требуемом количестве, возможностью использования критериев оптимальности при построении экспериментальных планов, значительным снижением вычислительных трудностей расчета коэффициентов уравнения регрессии для случая ортогонального планирования. При этом каждая независимая входная величина варьируется на двух уровнях согласно матрице планирования, т.е. предусматривается осуществление активного эксперимента в системе.

Целесообразность использования именно МПЭ для получения регрессионных моделей ЭМС объясняется тем, что большинство целевых зависимостей, существующих в этих системах, допускают хорошую аппроксимацию линейными моделями или моделями второго порядка, для которых отыскание значений коэффициентов аппроксимирующего полинома эффективно производить методом наименьших квадратов, на котором базируется МПЭ.

Достоинства регрессионных моделей полиномиального типа – простота, наглядность, удобство обращения. Коэффициенты полиномов непосредственно показывают степень количественного влияния каждого из параметров на исследуемый процесс. При ортогональном планировании добавляется еще независимость вычисления коэффициентов полинома.

Обычно в (1) независимые переменные представляются в нормированном виде:

где – базисное значение переменной, принимаемое равным ее значению в середине заданного интервала;– шаг варьирования переменной.

Нормированные величины принимают предельные значения ±1. Если переменные – независимые случайные величины, заданные в доверительных интервалах с вероятностью, близкой к единице, то нормированные переменныебудут независимыми, центрированными сслучайными величинами, заданными в пределах ±1 с той же вероятностью.

Зависимости (14.1) являются статистическими, и поэтому требуется подвергнуть их статистическому анализу, который включает оценку значимости коэффициентов найденных зависимостей, и проверку адекватности уравнения в целом.

Для проведения статистической оценки значимости коэффициентов обычно используется критерий Стьюдента:

(14.2)

где t —значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы ;N – число экспериментов, использованных для получения уравнения (14.1), а адекватность уравнения после отсеивания несущественных факторов проверяется по критерию Фишера

.

Однако как при определении значимости коэффициентов, так и при проверке на адекватность, необходимо определять дисперсию воспроизводимости параллельных опытов . При проведении экспериментов на ЭВМ проведение параллельных опытов дает повторяющиеся результаты. Поэтому для проверки значимости коэффициентов и адекватности модели дисперсия воспроизводимости определяется косвенным (искусственным) путем. Например, при распределении переменных по нормальному законуможно определить из выражения:

,

а также в зависимости от возможной (принятой) максимальной ошибки в определенииY по выражению:

.