1. Выражение для передаточной функции разомкнутой системы w(s).

Передаточная функция является важной категорией в теории автоматического управления, так как является математической моделью системы и полностью характеризует её динамические свойства.

2. Выражение и построение афх w(j), ачх w(), фчх () разомкнутой системы без использования и с использованием пакета моделирования Matlab.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – это график частотной передаточной функции , построенная на комплексной плоскости:

АФХ разомкнутой системы:

Сделаем замену в передаточной функции и получим

Листинг программы:

>> num=[82.08];

>> den=[0.000028 0.00674 0.233 1 0];

>> w=12:0.1:100;

>> AFH=freqs(num,den,w);

>> u=real(AFH);

>> v=imag(AFH);

>> plot(u,v);

>> grid;

Рис. 1. График АФХ разомкнутой системы W(j)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) звена – зависимость интенсивности колебаний от его частоты:

АЧХ разомкнутой системы:

Листинг программы:

>> num=[82.08];

>> den=[0.000028 0.00674 0.233 1 0];

>> w=12:0.1:100;

>> ACH=freqs(num,den,w);

>> A=abs(ACH);

>> plot(w,A);

>> grid

Рис. 2. График АЧХ разомкнутой системы W()

ФЧХ (Фазо - частотная характеристика) – частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами:

ФЧХ разомкнутой системы ():

Листинг программы:

>> num=[82.08];

>> den=[0.000028 0.00674 0.233 1 0];

>> w=12:0.1:100;

>> FCH=freqs(num,den,w);

>> phi=unwrap(angle(FCH))*180/pi;

>> plot(w,phi);

>> grid;

Рис. 3. График ФЧХ разомкнутой системы ()

Табл.1. Зависимость ФЧХ и АЧХ от частоты

	0	2	4	6	10	16	18,79	30	40	∞
W()	∞	38	16	7,34	3,5	1,4	1	0,34	0,166	0
	-90	-115,6	-136,2	-151,5	-180	-191,3	-198,13	-219,14	-232,14	-∞

Рис.4 Графики АФХ, АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы

3. Оценить устойчивость замкнутой системы с помощью критериев Гурвица, Рауса.

Характеристический полином замкнутой системы представляет собой полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы, который равен сумме полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.

Характеристический полином замкнутой системы:

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица:

Если характеристическое уравнение системы имеет вид (1), то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при а₀>0 главный определитель Гурвица _n и все его диагональные миноры (₁, ₂, …_n-1) были положительными.

Δ=0.00674 >0

Δ==>0

Δ==0,00157+0+0-0-0,00373-0,000028= -0,001888<0

Так как определитель Гурвица и все его диагональные миноры <0, то система неустойчива.

Критическое значение коэффициента усиления k_у, когда система находится на границе устойчивости.

Δ==0,00157-0,000028-0,000045Х=0

0,000045X=0,00154;

Х=34,27;

;

0,8208=34,27

=41,75

Критерий Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса с₁₁, с₁₂, и т.д. были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива.

Построим таблицу Рауса:

Табл.2. Таблица Рауса

Строка	Коэффициент	1	2	3
1	-	c11=a0= 0,000028	c21=a2= 0,233	c31=a4= 82,08
2	-	c12=a1= 0,00674	с22=a3=1	c32=0
3	==0,00415	c13=c21-r3c22= 0,22885	c23=c31-r3c32= 82,08	c33=0
4	==0,02945	c14=c22-r4c23= -1,417	c24=c32-r4c33= 0	c34=0
5	==-0,1615	c15=c23-r5c24= 82,08	c25=c33-r5c34= 0	c35=0

Знаки коэффициентов первого столбца не совпадают , из этого следует, что критерий Рауса не выполнен. Система не устойчива.