Телекоммуникационные системы

51

Как это часто бывает, спектр помехи можно принять равномерным в полосе частотного диапазона приемного устройства. Тогда можно считать, что , где – плотность мощности помехи на единицу полосы частот, будет величиной постоянной. Исходя из этого, Кф опт для случая, когда

помеха больше сигнала будет равен

Кф опт

,

Т.е. оптимальные характеристики фильтра полностью определяются спектром сигнала. Исходя из этого можно сделать вывод, что фильтр, выделяющий известный сигнал из смеси с помехой, шумом, должен с малым ослаблением пропускать гармонические колебания, частоты которых отвечают лишь тем участкам спектра, где спектральная плотность полезного сигнала отлична от нуля. Если спектр полезного сигнала имеет дискретную структуру (например, сигнал является периодическим), то данный принцип приводит к фильтрам с гребенчатой формой АЧХ, широко применяемым в телекоммуникационных системах (рис. 4.1).

ω0

ω

ω0

ω

Рис. 4.1. Принцип построения АЧХ гребенчатого фильтра

4.1. Оптимальная линейная фильтрация сигналов известной формы

Частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом, называют оптимальным линейным фильтром.

Проблема оптимальной обработки суммы известного по форме сигнала и шума возникает, например, в радиолокации. Здесь принятый полезный сигнал

пр	есть точная масштабная копия переданного сигнала			пер	, т.е.
	пр	· пер	,

причем А

1.

52

Амплитуда принятого сигнала может оказаться весьма малой и сопоставимой с эффективным напряжением шума, действующего на входе приемника. При работе радиолокационной системе не требуется сохранять форму полезного сигнала. Более того, в процессе обработки целесообразно трансформировать полезный сигнал таким образом, чтобы подача его на вход фильтра приводила в некоторый момент времени к значительному «всплеску» мгновенных значений выходного сигнала вых (рис. 4.2).

Sпер

Sпр

Sвых

Рис. 4.2. Всплеск полезного сигнала над уровнем шума

Если выходной сигнал в некоторые моменты времени существенно превосходит эффективное напряжение шума, то это с большой вероятностью свидетельствует о присутствии полезного сигнала на входе приемника.

Согласованный линейный фильтр

Поставим перед собой задачу найти импульсную характеристику согласованного фильтра, который дает на выходе максимально возможное для данного входного сигнала отношение сигнал/шум.

Пусть системой, осуществляющей обработку суммы сигнала и шума,

является стационарный линейный фильтр с импульсной характеристикой			.
Детерминированный полезный сигнал	вх	создает на выходе фильтра отклик
вых	вх ·	.

53

Зафиксируем некоторый, пока	произвольный, момент	времени	и
постараемся так выбрать функцию	, чтобы величина	достигала
максимально возможного значения.	Если такая функция| выхсуществует|		, то

отвечающий ей линейный фильтр назовем фильтром, согласованным с заданным входным сигналом или согласованным фильтром. Тогда

вых вх ·

отклик на выходе фильтра, подлежащий максимизации по модулю. На основании неравенства Коши-Буняковского , || ||·|| || получаем

вх

·

вх

·

.

Знак равенства будет иметь место тогда, когда сомножители в подынтегральном выражении пропорциональны друг другу:

где – произвольный коэффициент пропорциональности· вх ,			.
Выполнив формальную замену переменной		.	τ получаем
согл	· вх

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, которая, однако, располагается в зеркальном порядке вдоль оси времени (об этом говорит отрицательный знак при в формуле). Имеется и другое объяснение, почему импульсная характеристика фильтра представляет зеркальное отображение сигнала. При представлении упорядоченных во времени событий существует проблема путаницы между самым старшим битом и самым младшим. На рис. 4.3, а показано, как обычно изображается функция времени: самое раннее событие представлено справа, а наиболее позднее – слева. Обращение во времени (зеркальность) импульсной характеристики согласованного фильтра можно рассматривать как «предварительную коррекцию», чтобы поступающий сигнал и импульсный отклик фильтра шли «нога в ногу» (ранний с ранним, поздний с поздним).

54

. . .

t

t0

t1

t2

Вход

а

Выход

. . .

канал

. . .

обработки

t2 t1 t0

t

2 t1 t0

б

Рис. 4.3. Зеркальность в представлении упорядоченных во времени событий

Помимо этого импульсная характеристика согласованного фильтра

смещена

относительно

сигнала

на

отрезок . Рис.

4.4

показывает

принцип

построения

вх

функции вх

согл

применительно

к

некоторому

импульсному сигналу

, возникающему при

0.

длительностью

Sвх(-t)

hсогл(t)

Sвх(t)

	t0		t
-τи		0	τи

Рис. 4.4. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра

Анализируя построение, приведенное на рис. 4.4 можно сформулировать условие физической реализуемости согласованного фильтра: промежуток времени между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса. В противном случае импульсная характеристика

системы была бы отличной от нуля при	, т.е. до момента поступления
дельта-импульса на вход фильтра.	0

Из этого можно сделать вывод, что для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе, согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.

55

Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра

Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой

преобразованием Фурье, на основе формулы согл		·	вх	получим
согл	вх	.
Введя новую переменную интегрирования			, определим
согл	вх		вх	.

Последнюю формулу можно записать следующим образом:

где	согл	вх	,
	– комплексно-сопряженная величина.
	вхИтак, частотный коэффициент	передачи	согласованного фильтра

выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выделения которого этот фильтр предназначен. Множитель пропорциональности в формуле определяет уровень усиления, вносимого фильтром. Значение момента

времени	входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При
этом сомножитель		описывает смещение выходного отклика фильтра по

оси времени на величину .

4.2. Реализация согласованных фильтров

Замечательная особенность согласованного фильтра состоит в том, что возможность обнаружения сигнала оказывается зависящей от его энергии, а не от формы, поэтому можно добиться надежного обнаружения сигнала малой амплитуды, если соответствующим образом увеличить длительность импульса.

Выражения, определяющие частотную и импульсную характеристики согласованного фильтра, дают возможность найти структуру устройства для оптимальной фильтрации сигнала известной формы.

56

Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса

Рассмотрим импульсный сигнал вх , представляющий собой видеоимпульс прямоугольной формы с известной длительностью τи и амплитудой . Чтобы найти структуру фильтра, согласованного с таким сигналом, используем спектральный метод. Прежде всего, вычислим спектральную плотность полезного сигнала:

вх

вх

τи

1

τи .

Отсюда

на основании

выражения

находим

частотный коэффициент передачи

согласованного фильтра, положив для

согл

вх

конкретности

τ , т.е. что отклик фильтра максимален в момент окончания

импульса:

и

1

τи

1

τи .

согл

τи

Полученный результат позволяет синтезировать согласованный фильтр.

Действительно, в соответствии с полученным выражением для

, такой

фильтр должен представлять собой каскадное соединение

трех линейных

согл

звеньев: а) масштабного усилителя с коэффициентом усиления

; б) идеального

интегратора;

в) устройства с

коэффициентом

передачи

τи

Последнее устройство реализуется с помощью звена задержки

сигнала на время

1

.

τи, инвертора, изменяющего знак сигнала, и сумматора. Структурная схема фильтра изображена на рис. 4.5.

K	∫		+
Вход		Звено	Выход
		задержки	-1
		τи

Рис. 4.5. Структурная схема согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса

57

Согласованный фильтр для пачки одинаковых видеоимпульсов

В радиолокации, стремясь увеличить энергию полезного сигнала, обрабатывают импульсы отдельными пачками (рис. 4.6). Предположим, что на выходе амплитудного детектора приемника имеется пачка из одинаковых видеоимпульсов длительностью τи каждый, интервал между импульсами равен

. Если – спектральная плотность отдельного импульса, то спектральная плотность пачки импульсов

п	1	2	1	.
Синтезируя	структуру	согласованного	фильтра для пачки	импульсов,

потребуем, чтобы максимальный отклик возникал в момент окончания

последнего импульса пачки,			откуда		частотный		τ . Применив формулу
		0,	находим				коэффициент		передачи
согл	вх					1	и
согласованного фильтра:			1		2	2	1	1	1
согл		τи
где	согл	0 соглкоэффициент1		передачи		согласованного		фильтра,		для
одиночного видеоимпульса.
Полученная формула определяет структурную схему фильтра,
изображенного на рис. 4.6. На входе					установлен согласованный фильтр для

одиночного видеоимпульса. Основой устройства служит многоотводная линия

задержки, обеспечивающая запаздывание сигналов на отрезки времени
…,	. Сигналы со всех отводов поступают в сумматор и	максимальный
			Т,2Т,
отклик на1	выходе будет наблюдаться тогда, когда полезные сигналы от всех

импульсов пачки одновременно окажутся на всех его входах. Эффективность работы устройства тем выше, чем длиннее пачка импульсов.

58

1	2	N τи	Вход	(N–1)T
	…		K0 согл	Линия задержки
0		t	T	2T 3T
	T

+

Выход Рис. 4.6. Структурная схема согласованного фильтра для пачки видеоимпульсов

Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса

Пусть выделяемый сигнал представляет собой радиоимпульс вида:

		вх	0,		0,	,0	и,
			sin
	Синтезируем согласованный0,			фильтри.		для такого сигнала, используя
сведения об импульсной характеристике фильтра.
	Как было показано, импульсная характеристика согласованного фильтра
согл	вх	. Положим			τ ,	будем	считать для простоты
					и

длительность импульса кратной периоду высокочастотного заполнения, так,

что sin	τи	0. Тогда	0,	0,		и
		согл	sin	и,	,0		,
			0,

т.е. импульсная характеристика согласованного фильтра с точностью до амплитудного множителя повторяет входной сигнал.

Такую импульсную характеристику можно реализовать с помощью системы, структурная схема которой приведена на рис. 4.7.

На входе фильтра размещается колебательное звено (например, высокодобротный колебательный контур) с импульсной характеристикой

59

кол

0,

,0,

0,

где – постоянная величина.

Вход	Колебательное	Выход
		+
	звено
	Звено	Фазовращатель
	задержки
	на время τи	1800

Рис. 4.7. Структурная схема согласованного фильтра для прямоугольного радиоимпульса

Для того чтобы импульсная характеристика согласованного фильтра

равнялась нулю при	предусмотрен сумматор, на один из входов которого
сигнал с выхода колебательногои			звена подается непосредственно, а на другой –
через звено задержки на	секунд, и фазовращатель, изменяющий фазу сигнала
на 1800. При таком включениии		элементов схемы начиная с момента		ко

и

входам сумматора приложены два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами и противоположными фазами, что обращает в нуль сигнал на выходе сумматора.

Согласованный фильтр для сигналов Баркера

Ранее подчеркивалось достоинство сигналов Баркера – высокое значение главного лепестка автокорреляционной функции и предельно низкий уровень боковых лепестков.

На рис. 4.8 изображена структурная схема согласованного фильтра, предназначенного для обнаружения М-позиционного сигнала Баркера с фазовым кодированием. Такой сигнал имеет вид последовательности отрезков гармонических колебаний с фазовыми сдвигами , ,…, м, равными 0 или

1800 (рис. 4.8).

При синтезе исходят из того, что импульсная характеристика согласованного фильтра должна представлять собой «зеркальную» копию выделяемого сигнала с обращенным во времени порядком следования отдельных позиций.

60

t

0

1

2

3

t

T

		a
Вход	Ф1	Линия задержки
	T	2T

φм

φм–1

φм–2

……

φ2

φ1

Фазовращатели

+

		б				Выход
Рис. 4.8. Принцип работы согласованного фильтра для сигнала Баркера:
	а – сигнал Баркера при М		3; б – структурная схема
На входе	устройства имеется			вспомогательный				фильтр Ф1,
согласованный	по	отношению	к		одной		позиции	сложного

фазоманипулированного сигнала, т.е. к прямоугольному радиоимпульсу. После фильтра Ф1, осуществляющего предварительную фильтрацию, импульс подается на линию задержки с отводами. Задержка во времени между отводами

равна длительности					каждой позиции сигнала. Для правильного
функционирования			устройства необходимо, чтобы последовательность
				Т
фазовых сдвигов						отвечала значениям фаз в отдельных позициях
сигнала Баркера	при счете от конца сигнала к началу.
		М,	М		,…,