ПиРЭЭ_Kурс—Лекции

U = s U s

I a		1	1	1		I a1
I b	=	a 2	a	1		I a 2
I c		a	a2	1		I a0

или
					I = s I s				(8.2.10)
где
				1	1	1
s =				a 2	a	1
				a	a 2	1

Матрица s определяет переход от системы координат симметричных составляющих к системе фазных координат. Данная матрица имеет обратную:

		1				1	a a 2
s −1 =						1	a 2	a
		3
						1	1	1
Из (8.2.10) получим
				I s			= s −1 I				(8.2.11)
или
I a1	=			1		(I a + aI b + a 2 I c )
				3
I b1	=			1		(I a + a 2 I b + aI c )					(8.2.12)
				3
I c1	=			1		(I a + I b		+ I c )
				3

Систему (8.2.12) можно легко получить, если решить уравнения (8.2.9). Матрица s −1 , а также

выражения (8.2.11) или (8.2.12) отражают переход из фазных координат в симметричные. Покажем, как с помощью матриц преобразования s и s −1 получить в системе координат

симметричных составляющих уравнения закона Ома (8.2.2) или (8.2.3), ранее полученные в системе фазных координат.

Переход от системы симметричных составляющих к фазным координатам (8.2.10) справедлив и для таких параметров режима, как напряжение и падение напряжения:

(8.2.13)

С учетом (8.2.10) и (8.2.13) выражение (8.2.3) можно записать в следующем виде в системе

симметричных координат:
s U s	= Z LM s I s	(8.2.14)
Отсюда следует, что
U s = s −1 Z LM s I s = Z s I s		(8.2.15)
где матрица сопротивления участка линии	в системе симметричных координат Z s
определяется по матрице сопротивлений в фазных координатах ZLM таким выражением:
Z s = s −1 Z LM s		(8.2.16)

По выражению, аналогичному (8.2.16) можно найти и другие пассивные параметры сети, например проводимости ветвей в системе симметричных координат.

Система уравнений (8.2.15) имеет ту же размерность, что и (8.2.3). Поэтому в общем случае при учете различных взаимных междуфазных индуктивностей, различных фазных активных

сопротивлений и сопротивлений самоиндукции применение симметричных составляющих не приводит к понижению размерности систем уравнений, решаемых при расчете установившегося режима. Более того, в этом общем случае приходится дополнительно определять сопротивления в симметричных координатах по выражению (8.2.16). Таким образом, параметры элементов сети иногда проще определяются в системе фазных координат. Достоинство метода симметричных составляющих в том, что с его Помощью проще определяются показатели несимметрии - составляющие обратной и нулевой последовательностей напряжений и токов. Это важно, поскольку для проверки требований по качеству напряжения в соответствии с ГОСТ необходимо вычислить эти показатели несимметрии. Второе достоинство метода симметричных составляющих в том, что с его помощью в некоторых случаях можно выполнять расчет составляющих обратной последовательности с большей точностью, чем в фазных координатах.

Составляющие обратной последовательности в таких случаях имеют небольшую величину, поэтому определение их по результатам расчета в системе фазных координат, связанное с вычитанием близких величин, может привести к заметному понижению точности расчета.

Основное преимущество метода симметричных составляющих состоит в понижении размерности решаемой системы уравнений при расчете установившегося режима в частном, но практически важном случае, когда равны взаимные междуфазные индуктивности, а также и фазные активные сопротивления и сопротивления самоиндукции.

Например, при исследовании режимов, вызванных несимметричными нагрузками, можно не считаться с различием сопротивлений взаимной индукции между фазами и принять

собственные сопротивления фаз одинаковыми.

В

этом случае в (8.2.4)

Z L = Z aL = Z bL = Z cL

собственные

сопротивления фаз;

Z M

= Z ba = Z ac = Z ca = Z bc = Z cb

= Z ab - среднее взаимное сопротивление фаз.

При этом из (8.2.16), (8.2.14) следует

Z S = s −1

Z L

Z M

Z M

s =

Z 1

0

0

Z M

Z L

Z M

0

Z 2

0

,

(8.2.17)

Z M

Z M

Z L

0

0

Z 0

где
	Z 1 = Z 2 = Z L − Z M	(8.2.18)
и	Z 0 = Z L + 2Z M	(8.2.19)

Выражение (8.2.15) можно записать в следующем виде:

U

U s = U U

a1		Z 1	0	0		I a1		I a1 Z 1
a 2	=	0	Z 2	0		I a 2	=	I a 2 Z 2	(8.2.20)
a3		0	0	Z 0		I a0		I a0 Z 0

Из (8.2.20) следует, что в рассматриваемом частном случае вместо системы из трех уравнений (8.2.15) можно решать независимо по уравнению для каждой последовательности, т. е. порядок решаемой системы понижается в 3 раза. Иными словами, падение напряжения всех трех последовательностей определяется в рассматриваемых условиях только токами тех же последовательностей и, следовательно, режим определяется не системой уравнений, как в общем случае (8.2.15), а тремя независимыми уравнениями в (8.2.20).

Сопротивлениями прямой, обратной и нулевой последовательностей называют коэффициенты пропорциональности между падением напряжения и током одной и той же последовательности. Для линии Z 1 = Z L − Z M - сопротивление прямой последовательности;

I *ia1

I *ia 2

I *ia0

≠ Z 0 .

+ 2Z M

Z 2 = Z L − Z M - сопротивление обратной последовательности; Z 0 = Z L - сопротивление нулевой последовательности, причем Z 1 = Z 2

Взаимная независимость уравнений (8.2.20) свидетельствует о принципиальной возможности независимого расчета режимов, составленных из сопротивлений прямой, обратной и нулевой последовательностей. Такая возможность и определяет целесообразность расчетов несимметричных режимов в системе координат симметричных составляющих при равенстве фазных сопротивлений схемы. При найденных фазных токах и напряжениях, характеризующих несимметричный режим, активные мощности в любой i - й ветви схемы

определяются общим уравнением
P = Re(U	ia	I *	+ U	ib	I *	+ U	ic	I *	)	(8.2.21)
i		ia			ib			ic

Эти же мощности могут быть найдены и по результатам расчета в системе координат симметричных составляющих. Можно показать, что

Pi = 3 Re(U ia1 + U ia 2 + U ia0 ) (8.2.22)

Выше рассмотрены уравнения закона Ома для участка трехфазной линии. Все приведенные выше рассуждения справедливы для уравнений установившегося режима сложной трехфазной сети, в которой, например, имеются несимметричные нагрузки. Для такой сети можно записать аналогично (8.2.20) уравнения узловых напряжений независимо для каждой последовательности при напряжении базисного узла, равном нулю, в следующем виде;

U 1	= Z y1	I 1
U 2	= Z y2	I 2
				(8.2.23)
U 0	= Z y0
		I 0
где U 1 ,U 2 ,U 0 , I 2 , I 0 , I 1 − векторы узловых	напряжений и узловых токов соответственно
прямой, обратной и нулевой последовательностей; Z y1 ,Z y 2 ,Z y0 −				матрицы собственных и

взаимных сопротивлений прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Аналогично можно записать линейные уравнения установившегося режима сложной трехфазной сети в других формах (с матрицей узловых проводимостей Y y либо при U á ≠ 0 ) в виде трех независимых систем узловых уравнений для каждой из последовательностей. Основное преимущество метода симметричных составляющих при расчетах на ЭВМ заключается в возможности при равенстве взаимных междуфазных активных сопротивлений и сопротивлений самоиндукции независимо решать систему уравнений для каждой из последовательностей. Это дает возможность в 3 раза понизить порядок решаемой системы, т.е. уменьшить время расчета и требуемую память.

8.3. Уравнения узловых напряжений при несимметричных к.з. и в

сложносимметричных режимах.

При решении задач релейной защиты, системной автоматики и устойчивости энергосистем возникает необходимость в расчетах установившихся несимметричных режимов при коротких замыканиях, неполнофазных режимах и сложных видах несимметрии сети в одной или нескольких точках. Расчеты такого типа обычно ведутся при задании в некоторых опорных узлах комплексной ЭДС или напряжений прямой последовательности, определяемых из предшествующего нормального режима. Несимметричный режим находится совместным решением уравнений для схем прямой, обратной и нулевой последовательностей, связанных в

единую систему соотношениями между токами и напряжениями в каждом несимметричном элементе, определяемыми конкретными видами несимметрии.

Продольные и поперечные повреждения, а также взаимная индукция имитируются введением в соответствующие ветви и узлы сети источников дополнительных неизвестных напряжений, которые в дальнейшем определяются в результате решения системы уравнений.

Вектор узловых токов в выражении (8.2.23) можно для прямой последовательности представить следующем виде:

I 1 = I 1Í + I 1Ä	(8.3.1)
где I 1Í - вектор узловых токов симметричного нагрузочного режима;	I 1Ä - вектор узловых
токов прямой последовательности дополнительного режима.

Уравнения вида (8.3.1) записываются также для схем обратной и нулевой

последовательностей.
В этих уравнениях все составляющие вектора	I 1Í равны нулю, а в векторе I 1Ä	они имеют
ненулевые значения только для узлов с	поперечными повреждениями	и узлов,

ограничивающих ветви с продольными повреждениями.

В результате систему уравнений (8.2.23) для всех последовательностей получаем в следующем виде:

U 1 = Z y1 (I 1Í + I 1Ä )= U Í + Z y1			I 1Ä
		Ä
U 2	= Z y2
		I 2		(8.3.2)
U 0	= Z y0	I 0Ä

Рис. 8.3.1. Расчетная схема для случая разрыва фазы а

Для определения элементов матриц I 1Ä , I 2Ä , I 0Ä записывается дополнительная система уравнений, состоящая из уравнений узловых напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей для узлов с поперечными повреждениями и узлов, на которые опираются ветви с продольными повреждениями. В уравнениях для нулевой последовательности к таким «стыкующим» узлам относятся также все узлы ветвей, связанных взаимной индукцией

с ветвями, в которых рассматриваются продольные повреждения.

Структура полной системы уравнений для каждого вида несимметричного режима учитывает особенности этого режима. Например, для неполнофазного режима работы линий при отключении фазы а ток в фазе а равен нулю и напряжение между точками разрыва в фазе а не равно нулю. Разность напряжений между аналогичными точками для фаз b и с равна нулю (рис. 8.3.1).

Разрыв одной фазы продольной ветви в трехфазной цепи, все элементы которой обладают

одинаковыми одноименными параметрами фаз, можно рассматривать как включение в эту фазу дополнительной ЭДС, приводящей к нулевому значению тока в ней. Эта ЭДС заранее не известна.

Дополнительные уравнения (граничные условия) в системе симметричных координат при разрыве фазы а можно записать так:

E a

E S = s −1 0 0

откуда следует, что

E 1

= E 2 = E0

=

1 E a

(8.3.3)

3

Из условия равенства нулю тока в фазе а

0

= s

I 1

I b

I 2

I c

I 0

получается

I1+I2+I0=0

(8.3.4)

Аналогично можно записать дополнительные уравнения неполнофазного режима в случае разрыва двух фаз, а также для различных видов несимметричных замыканий (междуфазного, однофазного на землю и т.д.). Сущеcтвенные усложнения вызывает учет взаимных индуктивностей между параллельными цепями электропередач.

Для простоты изложения выше рассмотрены уравнения узловых напряжений (8.2.23) или (8.3.2) с матрицей узловых сопротивлений Z y . Эти уравнения мало используются при практических расчетах, так как применение матрицы Z y менее эффективно, чем использование метода Гаусса с учетом слабой заполненности матрицы Y y .

8.4. Симметрирование режима.

Под симметрированием режима понимается снижение напряжения и токов обратной и нулевой последовательностей различными способами. Обычно более важным является снижение напряжений и токов обратной последовательности. При этом может ставиться вопрос о симметрировании режима в отдельных ветвях электрической системы или в системе в целом.

Степень несимметрии напряжений в узлах системы определяется коэффициентом обратной последовательности

	ê2V =	U 2( 1 )	100	(8.4.1)
		U íîì

где U 2( 1 ) − действующее значение напряжения обратной последовательности напряжений

основной частоты трехфазной системы напряжении, В; кВ.

Степень несимметричности токов аналогично (8.4.1) определяется током обратной последовательности I 2 .

Уменьшение степени несимметрии токов и напряжений можно достигнуть путем включения в систему дополнительного источника задающего тока обратной последовательности. Модуль и аргумент этого тока должны быть такими, чтобы в заданной ветви при его сложении с током

I 2 модуль суммарного тока уменьшался до такого значения, при котором значения коэффициента обратной последовательности напряжений ê2V были не больше допустимых.

Вкачестве источника дополнительного задающего тока может быть использована батарея конденсаторов (рис. 8.4.1), работающая в несимметричном режиме.

Вобщем случае для токов батареи конденсаторов имеем

I

I

I

	1k	=	1	(I ak + aI bk + a 2 I ck )
			3
	2k	=	1	(I ak + a 2 I bk + aI ck )		(8.4.2)
			3
		=	1	(I ak + I bk + I ck )
	0 k
			3

Из

уравнений

(8.4.2)

с

учетом

очевидных

соотношений

(рис.

8.4.1)

I ak = I ab − I ac ; I bk = I bc − I ab ; I ck

= I ca − I bc можно получить

I 1k

=

1

[I ab (1 − a)+ aI bc (1 − a 2 )− I ca (1 − a 2 )]

3

1

I 2k

=

[I ab (1 − a 2 )− aI bc (1 − a)− I ca (1 − a)]

(8.4.3)

3

I 0 k = 0

Рис. 8.4.1. Полные токи конденсаторной	Рис. 8.4.2. Векторная диаграмма
батареи	токов и напряжений в ветвях
	симметрирующей батареи

Предположим, что фазные напряжения на зажимах батареи соответствуют системе прямой последовательности (рис. 8.4.2. б), тогда

I ab = aI ab ;

I bc = I bc ;

I ca = a2 Ica

При этом выражения (8.4.3) можно преобразовать в следующие:

	I 1k =		1						(I ab + I bc + I ca )	(8.4.4)
			3
	I 2k =		1				(a 2 I ab + I bc + aI ca )			(8.4.5)
			3

Как видно из выражения (8.4.4), роль батареи конденсаторов как источника реактивной мощности применительно к системе токов прямой последовательности сохраняется

независимо от соотношения между токами I ab ,I bc и I ca . При изменении токов в этих ветвях аргумент тока I 1k остается неизменным, а изменяется только его модуль.

Выражение (8.4.5) показывает, что при изменении токов I ab ,I bc и I ca изменяется не только модуль тока I 2k , но и его аргумент. Таким образом, имеется принципиальная возможность обеспечить необходимое симметрирующее воздействие на систему независимо от того, какой может потребоваться задающий ток I 2k .

При переводе батарей в несимметричный режим для получения симметрирующего эффекта целесообразно конденсаторы из отключаемой ветви батареи включать в другие ветви. В этом случае батарея, как следует из (8.4.4), обеспечит протекание в сети больших емкостных токов прямой последовательности по сравнению с частичным отключением конденсаторов. Кроме того, предусматривая возможность переключения конденсаторов на различное междуфазное напряжение, во многих случаях можно получить необходимый симметрирующий эффект при меньшей установленной мощности батареи.

8.5. Расчет высших гармоник токов и напряжений.

В электрических сетях с большим количеством тиристорных преобразователей и электроприемников с нелинейной вольт-амперной характеристикой необходимо проверять нормированную по ГОСТ величину коэффициента несинусоидальности кривой напряжения êíñ . Для определения êíñ можно либо использовать измерительновычислительный комплекс (ИВК) «Качество» или измеритель несинусоидальности (ИН 43250), либо рассчитывать особый режим, т. е. высшие гармоники тока и напряжения.

Комплекс «Качество» предназначен для стационарной установки на подстанциях энергосистем или крупных промышленных предприятий. Находящийся в ИВК микропроцессор по измеренным мгновенным значениям синусоид напряжения всех фаз рассчитывает следующие показатели качества электроэнергии: отклонения напряжения прямой последовательности основной частоты и в каждой фазе, коэффициенты обратной и нулевой последовательностей напряжений êíñ и относительные уровни 2, 3, 4 и нечетных гармоник с 5- й по 25-ю в каждой фазе. Цифровой прибор ИН 43250 имеет аналоговый выход и предназначен для измерения êíñ , а также относительных уровней и фаз высших гармоник тока и напряжения.

Расчет особого режима выполняется методом наложения. Особый режим рассматривается как результат суммирования ряда режимов, каждый из которых соответствует этой гармонике. В этом случае расчеты режимов для каждой гармоники проводятся независимо. Высшие гармоники токов и напряжений Iνk , Uνk суммируются по выражениям.

Систему линейных уравнений узловых напряжений для ν − й гармоники можно записать так:

Y νy U ν = 3 I ν				(8.5.1)
где Y νy ,U ν - вектор-столбцы токов в узлах	и узловых			междуфазных напряжений ν − й
гармоники, k-й элемент этих вектор-столбцов -	это комплексный ток ν − й гармоники k-го узла

и узловое междуфазное напряжение ν − й гармоники k-го узла, U νk , Y νy - комплексная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей при частоте переменного тока, соответствующей ν − й гармонике.

Реактивные сопротивления линий, трансформаторов или реакторов при частоте, соответствующей ν − й гармонике,

xν =ν x50

(8.5.2)

где ν − номер гармоники; x50 - реактивное сопротивление при частоте 50 Гц, соответствующее первой гармонике.

Емкостная проводимость линий, а также активное сопротивление линий или трансформаторов определяются аналогично (8.5.2):

bν =ν b50 ; rν = kν r50

где b50 ,r50 - емкостная проводимость и активное сопротивление при частоте 50 Гц; kν - коэффициент, учитывающий изменение активного сопротивления при частоте, соответствующей ν − й гармонике. Для решения (8.5.1) эффективно использование метода Гаусса с учетом слабой заполненности матрицы узловых проводимостей.