- •Виды анализа и расчета электронных схем
- •Модели элементов и схем
- •Классификация моделей
- •Базовый набор элементов моделей
- •Пассивные элементы R, L, C
- •Пассивные компоненты и их модели
- •Резистор
- •Электрические конденсаторы
- •Реальная индуктивность
- •Трансформатор
- •Модели полупроводниковых приборов
- •Модель полупроводникового диода
- •Модель биполярного транзистора
- •Модель полевого транзистора
- •Макромодель операционного усилителя
- •Часть 2
- •Матрично-векторные параметры схем
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Функции электронных схем
- •Метод обобщенных ветвей
- •Введение, задачи анализа переходных процессов
- •Законы коммутации
- •Общая проблема и подход к анализу коммутационных процессов
- •Анализ переходных процессов в линейных цепях
- •Классический метод анализа переходных процессов
- •Операторный метод анализа переходных процессов
- •Временные методы анализа переходных процессов
- •Интеграл наложения
- •Интеграл Дюамеля
- •Частотный метод анализа переходных процессов
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Интеграл Фурье
- •Анализ переходных процессов в нелинейных схемах.
- •СОДЕРЖАНИЕ
39
Полная матрица проводимости Y: |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
Y1 |
|
−Y1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Y |
= |
−Y |
1 |
Y1 +Y 2 +Y 3 |
−Y 3 |
0 |
|
2 |
0 |
|
−Y 3 −S |
Y 3 +Y 4 +Y 5 + S |
−Y5 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
−Y 5 |
Y5 +Y 6 |
|
4 |
Функции электронных схем
Метод узловых потенциалов позволяет рассчитать потенциалы всех узлов схемы, если задано входное воздействие, а также матрица проводимостей Y для схемы. Но иногда надо знать не сами потенциалы узлов, а связь между сигналами на входе и выходе схемы, т.е. определить усилительную способность схемы при различной нагрузке и различных источниках входного сигнала. Такие характеристики являются функциями схем, которые могут быть определены по матрице проводимости без расчета режима работы всей схемы. Схему представим четырехполюсником, в котором выведены входные и выходные узлы. Отметим, что схема представляет собой усилитель, фильтр и т.п. (но не генератор), т.е. в ней отсутствуют независимые источники сигнала.
|
Iвх |
= JГ |
−Y Г |
Uвх ; |
Iвых =Y н U вых |
||||||||||
Перечислим основные функции схем: |
|
|
|
|
=Uвых ; |
||||||||||
1. |
Коэффициент передачи по напряжению KU |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iвых |
|
Uвх |
||
2. |
Коэффициент передачи по току K I = |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I вх |
|
|||
3. |
Сопротивление передачи Z пер |
= Uвых ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Iвх |
|
||||||
4. |
Проводимость передачиY пер |
= |
|
Iвых |
|
(причем Zпер≠1/Yпер); |
|||||||||
Uвх |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Входное сопротивление Z вх |
=Uвх ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Iвх |
|
|
|
|
|
||||
6. |
Входная проводимостьY |
вх |
= |
|
Iвх |
= |
1 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
U вх |
Z вх |
|
Функции схем связаны между собой следующим образом:
Z пер =U вых = |
Iвых |
= |
Ki ; |
Y пер = |
Iвых |
= Uвых Y н = KU Y н ; |
|
Iвх Y н |
Uвх |
||||||
Iвх |
|
Y н |
|
Uвх |
Z |
вх |
=Uвх = |
Uвых K I |
= |
K I |
; |
Y |
вх |
= |
|
Iвх |
= |
1 |
= |
KU Y Н . |
KU Iвых |
|
|
Z вх |
||||||||||||
|
Iвх |
|
KU Y н |
|
|
Uвх |
|
K I |
Вводятся также понятия режимов холостого хода (Yн=0) и короткого замыкания (Yн=∞). В случае работы схемы в режиме холостого хода ее функции обозначаются с верхним индексом «0» (KU0), короткого замыкания — с верхним индексом «к» (KIк).
Пусть схема представляет собой усилитель или частотно-формирующий каскад, где нет независимых источников сигнала. Рассмотрим вопрос об определении функций схемы через параметры матрицы проводимости Y.
Согласно методу узловых потенциалов:
U =Y −1 J
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
При этом вектор задающих токов схемы имеет 2 компонента, соответствующих входному и выход- |
|||||||||||
ному токам схемы (рис. 2.17). В узел «a» входной ток втекает, следовательно он берется со знаком |
|||||||||||
«+», выходной ток вытекает из узла «b», следовательно он берется со знаком «-». Узловые напряжения |
|||||||||||
в узлах «а» и «b» соответственно — Uвх и Uвых: |
|
|
|
|
|
||||||
Uвх =Ua ; |
|
|
Uвых |
=Ub |
|
I |
|
|
Iвых |
||
Предположим, что матрица проводимо- |
|
вх |
a |
b |
|||||||
|
|
|
|||||||||
сти Y имеет следующий вид: |
|
|
J |
YГ |
Uвх |
|
Yн |
||||
y |
|
y |
|
... |
y |
|
|
||||
11 |
12 |
1ν |
Г |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Uвых |
||||
Y = y21 |
y22 |
... |
y2ν |
|
|
|
|
|
|||
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|||
yν1 |
yν 2 ... |
yνν |
|
|
Рис. 2.17 |
|
|||||
Для построения обратной матрицы Y-1 надо найти алгебраические дополнения для каждого эле- |
|||||||||||
мента, разделить их на определитель матрицы Y, полученную матрицу транспонировать: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆11 |
∆21 |
... |
∆ν1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆∆12 |
∆∆22 |
∆∆ν 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Y −1 = ∆ |
∆ |
∆ |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆1ν |
∆2ν |
... |
∆νν |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
∆ |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь ∆ij — определитель матрицы, полученной из исходной матрицы Y путем вычеркивания i-ой |
|||||||||||
строки и j-ого столбца, умноженный на (-1)i+j: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∆ij = M ij (−1)i+ j |
|
|
|
||
Нас интересуют потенциалы входного (а) и выходного (b) узлов, поэтому полное матричное урав- |
|||||||||||
нение решать нет смысла. Надо рассмотреть 2 строки, соответствующих узлам «a» и «b»: |
|
|
1 |
ν |
|
1 |
ν |
|
Uвх =U a = |
∑∆sa Js ; |
Uвых =U b = |
∑∆sb Js |
|||
∆ |
∆ |
|||||
|
s =1 |
|
s =1 |
Т.к. в векторе задающих токов J всего 2 ненулевых элемента, то
U |
вх |
= |
1 |
(∆ |
aa |
I |
вх |
− ∆ |
ba |
I |
вых |
); |
U |
вых |
= |
1 |
(∆ |
ab |
I |
вх |
− ∆ |
bb |
I |
вых |
) |
|
∆ |
∆ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения преобразуем так, чтобы выделить интересующие нас параметры Iвх и Iвых. Для этого исключим их уравнений Iвх.
|
U |
вх |
= |
1 |
(∆ |
aa |
I |
вх |
− ∆ |
ba |
I |
вых |
) |
|
|
|
× ∆ |
ab |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
U |
вых |
= |
1 |
(∆ |
ab |
I |
вх |
− ∆ |
bb |
I |
вых |
) |
|
|
× ∆ |
aa |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
вычитаем из1го 2 - е |
|
∆ ∆ U |
= ∆ |
|
|
∆ |
|
I |
|
−∆ |
|
|
∆ |
|
I |
вых |
||||||||||||||
|
|
|
ab вх |
|
|
|
|
aa |
|
ab |
|
|
|
вх |
|
|
|
|
ba |
|
ab |
|
||||||||
|
|
∆ ∆aaUвых = ∆aa∆ab Iвх −∆aa∆bb Iвых |
||||||||||||||||||||||||||||
∆ ∆abUвх − ∆ ∆aaUвых = ∆aa∆bb Iвых |
|
− ∆ab∆ba Iвых |
41
Iвых = (∆ab Uвх − ∆aa Uвых ) ∆
∆aa∆bb − ∆ab∆ba
Iвых и Uвых связаны между собой через параметры нагрузки: Iвых=Uвых Yн. Используем это в последнем уравнении:
∆ (∆abUвх − ∆aaUвых ) =Uвых Y н (∆aa∆bb − ∆ab∆ba )
Uвых (∆ ∆aa + (∆aa∆bb − ∆ab∆ba ) Y н ) = ∆ ∆abUвх
KU = Uвых = |
∆ ∆ab |
|
|
∆ ∆aa + (∆aa∆bb − ∆ab∆ba ) Y н |
|||
Uвх |
|
Из теории определителей известно, что:
∆aa∆bb − ∆ab∆ba = ∆aa,bb ∆ ,
где ∆aa,bb — двойное алгебраическое дополнение, полученное из исходной матрицы путем вычеркивания строк и столбцов с номерами a и b соответственно.
KU |
= |
Uвых |
= |
∆ab |
|
1. YН |
вкл. в матрицу Y — по формуле KU0 |
|
|
2. YН |
не вкл. в матрицу Y — по формуле KU |
||||||
|
∆aa + ∆aa,bb Y н |
|||||||
|
|
Uвх |
|
|
|
Таким образом, функция схемы KU получилась как результат матричных операций, не связанных с расчетом схемы. Несложно получить соотношения для режима холостого хода:
Y |
|
= 0 |
|
K 0 |
= |
∆ab |
|
∆ |
|||||
|
н |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
aa |
и короткого замыкания: |
|
|
|
|
|
|
Y н → ∞ |
|
KUK = 0 |
Если составить эквивалентную схему, включая в нее Yн, то мы должны рассчитать схему для режима холостого хода (т.к. ток нагрузки Iн уже учтен в матрице). Если Yн не входит в матрицу проводимости, то KU считается по общей формуле.
При выполнении всех преобразований матриц рекомендуется входной узел всегда делать 1-ым, выходной — последним. При этом подматрицы получаются проще.
Для |
|
нахождения |
KI |
рассмотрим |
второе |
из |
исходных |
уравнений (для Uвых). Замена |
|||||||||||
|
|
Iвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∆ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆bb |
|
|
|||||
Uвых = |
|
|
|
|
дает: |
|
|
|
|
Iвых |
|
+ |
|
= |
|
Iвх |
|
||
|
Y Н |
|
|
|
|
|
∆ |
∆ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y н |
|
|
|
|
|||||
|
|
K I = |
I |
вых |
= |
∆ |
ab |
Y |
н |
|
|
|
|
1. YН вкл. в матрицу Y — по формуле KIK, при этом разрывается цепь |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между YН и землей |
|||||||||
|
|
|
∆ +Y н ∆bb |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Iвх |
|
|
|
2. YН не вкл. в матрицу Y — по формуле KI |
Несложно получить соотношения для режима короткого замыкания:
|
Y н = ∞ KIK = |
|
∆ab |
|
|||||||
|
|
∆bb |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и холостого хода: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y н = 0 |
|
K I0 = 0 |
|||||||
Все прочие функции схемы выражаются через KU и KI: |
|
|
|
|
|||||||
Y |
вх |
= |
Iвх |
= |
Iвых KU |
|
= |
Y н KU |
|||
|
|
K I |
|||||||||
|
U вх |
K I |
Uвых |
|
|
42
Подставив в выражение для Yвх выражения для KU и KI через определители, получаем:
Y н ∆ab (∆ +Y н ∆bb ) |
|
1. YН вкл. в матрицу Y — по формуле Yвх0 |
|||
Y вх = (∆aa +Y н ∆aa,bb ) ∆ab Y н |
|
2. YН не вкл. в матрицу Y — по формуле Yвх |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Y вх = |
∆ +Y н ∆bb |
|
|
|
|
∆aa +Y н ∆aa,bb |
|
|
Получим соотношения для режима короткого замыкания:
Y |
н |
= ∞ |
|
Y К = |
|
|
∆bb |
||
|
∆ |
||||||||
|
|
|
вх |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
aa,bb |
|
и холостого хода: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = 0 |
|
Y 0 |
= |
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
||||||
|
|
н |
|
вх |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
aa |
В результате матричных преобразований размерности выходных величин должны сохраняться. Для выражений KU и KI размерности матриц числителя и знаменателя одинаковы, для Yвх — порядок матрицы числителя больше порядка матрицы знаменателя.
Еще одна функция проводимость передачи Yпер:
Y пер = |
Iвых |
|
= Uвых Y н = KU Y н |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
Uвх |
|
|
Uвх |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Y пер = |
|
Iвых |
= |
|
∆ab Y н |
|
|
|
|||||||
Uвх |
∆aa +Y н ∆aa,bb |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Z пер =Uвых |
= |
|
Iвых |
= K I |
|
|||||||||||
Iвх Y н |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Iвх |
|
|
Y н |
|
|
|
||||||
|
|
|
Z пер = |
|
|
∆ab |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∆ +Y н ∆bb |
|
|
|
|
|
Для нахождения Yвых воспользуемся следующим приемом: т.к. четырехполюсник формально симметричен, то поменяем (формально) индексы, соответствующие входным и выходным узлам. При этом вместо Yн будет записана Yг:
|
|
|
|
|
|
|
Как правило, для реальн. источн. RГ→0 или YГ→∞. |
|
|
|
Y |
|
= |
∆ +Y Г |
∆aa |
|
|
|
|||
вых |
|
YН |
вкл. в матрицу проводимости Y, Yвых счит-ся по формуле: |
|
∆aa |
|||||
∆bb |
+Y Г |
∆aa,bb |
|
К |
||||||
|
|
|
|
|
Yвых = Yвых = |
|
||||
|
|
|
|
|
∆aa,bb |
Рассмотрим вычисление функций схем для каскада с общим стоком (см. рис. 2.13, 2.14). Ранее для него получили матрицу проводимости Y:
|
y11 |
y12 |
y13 |
y14 |
Y = |
y21 |
y22 |
y23 |
y24 |
|
y31 |
y32 |
y33 |
y34 |
|
y41 |
y42 |
y43 |
y44 |
Любой из элементов матрицы является комплексной величиной, состоящей из активной и реактивной компонент. Чтобы найти функцию схемы в частотной области, вначале надо записать каждый элемент yks через значение параметров схемы. Проанализировав выражение для требуемой функции схемы, необходимо определить те подматрицы, которые нужны для расчета. Например, если рассчи-