С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3
.pdf3) |
lim |
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x 4 3 |
; |
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x 5 |
x 1 2 |
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4) |
lim |
cos x 1 ln 1 x |
; |
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x 0 |
x2 sin x |
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5) |
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x 2 |
2 x 3 |
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lim |
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. |
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x 1 |
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x |
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Ре ш е н и е.
1)Домножим и разделим на сопряженное выражение:
lim |
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n2 5n |
n2 1 |
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lim |
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n2 5n n2 1 |
n2 5n n 2 1 |
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2 |
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2 |
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n |
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n |
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n |
5n |
n |
1 |
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n2 5n n2 1 |
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lim |
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lim |
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5n 1 |
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n2 5n n2 1 |
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n n2 5n n2 1 |
n |
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Разделим числитель и знаменатель дроби на n:
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5n 1 |
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1 |
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lim |
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n |
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lim |
5 n |
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5 |
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2,5 |
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n2 5n n2 1 |
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5 |
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1 |
1 1 |
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n |
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n |
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1 n |
1 |
n |
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n |
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О т в е т : -2,5.
2) Имеем неопределенность вида 00 . Разложим числитель и зна-
менатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители и произведем очевидные сокращения общих множителей. Неопределенность при этом исчезнет, и предел будет равен значению дроби при х = – 1:
lim |
x3 |
x 2 |
lim |
x 1 x2 x 2 |
lim |
x2 |
x 2 |
2. |
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x2 1 |
x 1 x 1 |
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x 1 |
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x 1 |
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x 1 |
x 1 |
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О т в е т : -2.
3) Выполним элементарные преобразования, используя формулу a b a b a2 b2 . Получим
11
lim |
x 4 3 |
lim |
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x 4 3 |
x 4 3 |
x 1 2 |
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x 1 2 |
x 4 3 |
x 1 2 |
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x 1 2 |
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x 5 |
x 5 |
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lim |
x 5 |
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x 1 2 |
lim |
x 1 2 |
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2 |
. |
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x 5 |
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x 4 3 |
x 4 3 |
3 |
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x 5 |
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x 5 |
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От в е т : 23 .
4)Воспользуемся замечательными пределами
lim sin |
1, |
lim |
ln 1 |
1, |
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0 |
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0 |
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известными тригонометрическими тождествами
sin 2sin |
cos |
; |
1 cos 2sin |
2 |
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2 |
2 |
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2 |
и теоремой о пределе произведения. Тогда
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cos x 1 ln 1 x |
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2sin2 |
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x |
ln 1 x |
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lim |
lim |
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2 |
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x2 sin x |
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x |
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x |
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x 0 |
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x 0 |
2x2 sin |
cos |
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x |
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2 |
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2 |
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lim |
sin |
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ln |
1 x |
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1 |
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1 . |
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2 |
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x |
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x 0 |
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x |
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x |
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2cos |
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2 |
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О т в е т : 1 . |
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2 |
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2 |
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2 |
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5) |
x 2 2 x 3 |
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x 1 3 2 x 3 |
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3 |
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2 x 3 |
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lim |
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lim |
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lim 1 |
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x 1 |
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x 1 |
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x |
x 1 |
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x |
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|
x |
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x 1 |
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3 |
2x 3 |
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2x 3 |
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x 1 |
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3 |
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3 lim 2x 3 |
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1 |
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1 |
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lim 1 |
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1 lim |
1 |
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e |
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x x 1 |
e |
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x 1 |
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x 1 |
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x |
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x |
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3 |
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3 |
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12
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2x 3 |
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3 10 |
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|||
3 lim |
|
x |
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|
3 lim |
2 x |
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|
10 |
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x 1 |
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|||||
x |
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x |
1 |
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|||
=e |
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e |
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1 x |
e 32 e 6. |
|
x |
|
О т в е т : e 6 .
Задание 3. Исследуйте функцию на непрерывность и схематично постройте график.
3.1. |
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3x 1 |
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3.2. |
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x2 |
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1) y |
; |
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1) |
y |
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; |
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x2 2x |
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x2 2x 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
2) y 2 |
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x |
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; |
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1 |
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x 3 |
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2) y e |
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; |
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2 x |
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3 |
x |
, x 0 |
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x, x 2 |
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3) y |
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1 |
,0 |
x 2 |
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2 |
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x |
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3) |
y |
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x |
, |
2 x 0 |
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2 |
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x, x 2 |
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1 |
, x |
0 |
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x |
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3.3. |
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1 |
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|
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|
|
3.4. |
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x2 |
|
|
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|||||||
1) y |
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; |
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1) y |
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; |
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x2 x |
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|||||||||||||||||||||||
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x2 9 |
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2) y e |
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x |
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; |
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1 |
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|||||
x 2 |
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2) y 2 |
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; |
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3 x |
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|||||||||||||||||||
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sin x, |
x 0 |
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x |
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|||||||||||||||||
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e |
, |
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x 1 |
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||||||||||
3) y |
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0 x 1 |
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3) |
y |
|
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x 0 |
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ln x, |
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ln(x |
1), |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
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x 1 |
x 1 |
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cos x, x 0 |
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|||||||||||||||||||||||
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e |
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||||||||||||||||||||||
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3.5. |
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x3 1 |
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3.6. |
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x2 |
|
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|
|||||||||||||
1) y |
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|
; |
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|
|
1) |
y |
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|
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|
; |
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x3 4x2 |
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x2 3x 2 |
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2) y e |
2 |
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1 |
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||||||
3 x |
; |
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2) y e |
( x 2)2 |
; |
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1, |
x |
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|||||||||||
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x, |
|
x |
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3) |
y |
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x 0 |
||||||||||||||||||
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2 |
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cos x, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
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|
ln x, |
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|
x 0 |
|
||||||||||||
3) y tgx, |
|
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2 |
x |
4 |
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||||||||||||||
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||||||||||||||||||
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2) y 1 3x |
; |
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2) y 2 1 ; |
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1 |
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1 2 |
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|||||||
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x 1 |
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|||||||||||||
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x2 |
3, x 0 |
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1 |
, |
|
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x 0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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3) |
y 4x 3,0 x 2 |
3) y |
x |
x |
2 |
, 0 x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
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4 |
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|||||||||||||||||||||
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2x |
|
4, |
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||||
|
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, x 2 |
|
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|||||||||||||||
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|
x |
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|||||||
3.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
3.22. |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
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|||||
1) y |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
; |
1) y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
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||||||||||
(x 1)2 (x 2) |
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 1 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) y 7 |
|
x 2 |
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
2) y 1 2 |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
x 1, x 1 |
3) y |
xx , x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
y |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3 , 0 |
x |
||||||||||||||||||||
x2 3, 1 x 2 |
|
2x |
|
5, x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
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||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.23. |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.24. |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1) y |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
x |
2 6x 5 |
|
|
|
|
(x 2)2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) y e |
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y 4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
|
|
2x2 , x 0 |
|
|
|
(x 1)2 , x 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
3) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
3) y |
|
|
|
, |
|
|
0 x 2 |
|||||||||||||
sin x, |
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x, x |
|
|
|
|
|
6 |
x, x 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.25. |
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.26. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) y |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
1) |
y x2 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) y 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) y e x 3; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( x 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
, |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, x 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
21 |
||||||||||||||||||||||||
3) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) y |
x |
1 x 2 |
||||||||||||||||
ln x, 0 x 1 |
x |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, x 1 |
|
x, |
|
x 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.27. |
x3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3.28. |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
y |
; |
|
|
|
|
1) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 4x 1 |
|
|||||||||||||||||||
x3 8x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y 3 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) y 1 5 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2x 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
|
|
x 0 |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
, x 0 |
|
|
|
3) y |
e |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 , 0 |
x |
||||||||||||||||||||||||
3) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x, x |
2 |
|||||||||||||
ctg x, 0 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 , x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.29. |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.30. |
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
||||||
1) |
y |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||
x2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
6x 9 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2) y 1 e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) y 2 2 |
( x 2)2 |
; |
|
|
|
x2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
y |
x |
|
|
4, x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
2x |
|
4, 0 |
x 2 |
3) y |
x |
2 , |
1 |
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ln(x |
2), |
х |
2 |
2 |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x, x 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Образец выполнения задания 3
Исследуйте функцию на непрерывность и схематично постройте график
16
1) y x4(xx 11) ;
2x
2)y e 3 x ;
|
|
3 |
x |
, |
x 1, |
|
|
3) |
|
5x 7 |
, 1 |
x 1, |
|||
y |
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
x 1. |
|
||
|
|
ln x, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е .
1)y x4(xx 11) , очевидно Dy : x 0, x 1 и точки разрыва x = 0,
x= -1.
Найдем односторонние пределы в точках разрыва. В точке x = 0 предел справа:
lim |
4x 1 |
|
|
4 0 1 |
|
1 |
|
, |
|
0 (0 1) |
0 |
||||||
x 0 0 x(x 1) |
|
|
|
|
|
предел слева:
lim |
4x 1 |
|
|
4 0 1 |
|
1 |
|
. |
|
0 (0 1) |
0 |
||||||
x 0 0 x(x 1) |
|
|
|
|
|
В точке x = -1 предел справа:
lim |
|
4x 1 |
|
|
4 ( 1) 1 |
|
3 |
|
3 |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 ( 0) |
0 |
||||||||||||||||
x 1 0 x(x 1) |
|
|
1 ( 0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
предел слева: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
4x 1 |
|
|
|
4 ( 1) 1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 ( 0) |
1 |
( 0) |
0 |
||||||||||||
x 1 0 x(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно: x = 0, x = -1 точки разрыва II рода.
17
Рассмотрим поведение функции при x , для этого найдем предел функции при x :
|
lim |
|
4x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x(x 1) = |
|
|||
|
неопределенность вида |
,степеньмногочлена |
|
||
|
|
||||
= |
|
|
0 . |
||
вчислителе меньше степенимногочлена |
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в знаменателе,следовательно предел равен 0 |
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Таким образом y = 0 при x .
у
у = 0 х
х = -1 х = 0
2x
2)y e3 x , очевидно Dy : x 3и точка разрыва функции x = 3.
Найдем односторонние пределы в точке разрыва х = 3 предел справа:
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2 x |
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2 3 |
e |
1 |
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1 |
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lim |
e |
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e |
( 0) |
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0, |
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3 x |
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е |
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x 3 0 |
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|||||||
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2 x |
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2 3 |
e |
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||||||
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предел слева: lim |
e |
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e |
( 0) |
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. |
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||||||
3 x |
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||||||||||||||
x 3 0 |
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18
Следовательно х = 3 – точка разрыва II рода.
Рассмотрим поведение функции при x , для этого найдем предел функции при x .
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2 x |
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e ,неопределеннсотьвида |
,степень |
2 |
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e 2 |
|
1 |
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lim |
e 3 x = |
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=e 1 |
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. |
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многочлена вчислителе равна степени |
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x |
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многочленав знаменателе |
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e |
2 |
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Таким образом y e12 при x .
у
х
х
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3 |
x |
, |
x 1 |
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|
3) |
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5x 7 |
, 1 |
x 1 |
|||
y |
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6 |
|
|||
|
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|
x 1 |
|
||
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ln x, |
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||||
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Заметим, что х = –1, х = 1 – точки подозрительные на разрыв. Найдем односторонние пределы функции в этих точках
ln х
х
19
В точке х = -1 предел слева: |
lim 3x 3 1 |
|
1 |
, предел справа: |
|||
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x 1 0 |
|
|
3 |
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|
lim |
5x 7 |
|
5 ( 1) 7 |
|
2 |
|
1 . |
x 1 0 |
6 |
|
6 |
|
6 |
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3 |
Так как |
lim |
f (x) lim f (x), найдем |
еще значение функции |
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x |
1 0 |
x 1 0 |
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в точке |
x 1, |
y( 1) 5 ( 1) 7 |
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1 . |
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|||
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|
6 |
|
|
3 |
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lim |
f (x) |
lim |
f (x) f (x) , |
следовательно функция в точке |
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x 1 0 |
|
x |
1 0 |
|
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х = -1, непрерывна. |
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lim 5x 7 |
5 1 7 |
12 |
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В точке х = 1 |
предел слева: |
2, предел |
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x 1 0 |
6 |
6 |
6 |
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справа: |
lim ln x ln1 0 . |
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|||
x 1 0 |
|
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f (x) lim |
f (x) |
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Так как |
пределы конечны и |
lim |
то в точке |
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x 1 0 |
x 1 0 |
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х = 1, функция терпит разрыв, х = 1 точка разрыва |
I рода, разрыв |
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неустранимый со скачком 2 единицы. |
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у
у х
у
у = ln х
х
20