С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3
.pdf6.27. lim |
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x |
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6.28. |
lim |
5x 2 |
||
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||||||
|
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|
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||||
x 0 tg x |
|
|
x x2 3 |
|||||
|
|
x2 |
|
6.30. lim ln x |
||||
6.29. lim |
|
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x 0 |
1 |
|
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|||
x 2x 1 |
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|
x |
||||
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Образец выполнения задания 6
Найдите предел, используя правило Лопиталя |
lim |
3x |
. |
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2 |
|||
|
x x2 |
|
Р е ш е н и е .
|
|
lim |
3x |
= |
|
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|
2 |
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||
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x x2 |
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неопределенностьвида . Найдемпроизводную |
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||||||
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числителя(3x)' 3x ln2 и знаменателя(x2 2)' 2x |
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||||
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|
неопределенностьвида ,найдем |
|
|
|
|||
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|
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||||
= lim |
(3x ln 2) |
производнуючислителя(3x ln2)' 3x ln2 2 |
|
|||||
x |
2x |
изнаменателя(2x)' 2 |
|
|
|
|||
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|||||
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lim |
3x ln2 2 |
|
|
3 ln2 2 |
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|||||
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
О т в е т : .
31
|
Задание 7. Проведите полное исследование функции |
y |
2 x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и постройте ее график. |
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|
7.1. |
y |
|
|
|
|
x2 |
4 |
|
7.2. |
y |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
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x2 9 |
|
|
x3 1 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
7.3. y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4. y |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
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||||||||||||||||
|
x2 2x |
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
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|
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|
4x 8 |
|
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||||||||||||||||
|
7.5. y 4 x2x |
|
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|
|
|
|
|
|
|
7.6. y |
x2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
7.7. y |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.8. y |
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x 1)2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7.9. y |
2x 1 |
7.10. |
y |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x 1)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
7.11. |
y |
|
|
|
|
x2 |
9 |
|
7.12. |
y |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||
|
7.13. y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.14. y |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 9 |
|
|
|
x |
2 5x 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
7.15. y |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
7.16. |
y |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 4x 3 |
|
|
|
x(x 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
7.17. |
y |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
7.18. |
y |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
1)(x 3) |
|
|
|
x2 25 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
7.19. |
y |
|
|
3x |
|
7.20. y |
|
|
x4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7.21. |
y |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
7.22. |
y |
|
|
|
x2 25 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
2)(x 4) |
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
7.23. y |
|
|
3x |
7.24. y |
|
|
x4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7.25. y |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
7.26. y |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 8x 7 |
|
|
|
x |
2 3x 2 |
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
7.27. y |
x2 1 |
7.28. y |
|
4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7.29. |
y |
|
|
|
|
|
x |
|
7.30. |
y |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
7)2 |
(x 2)(x 7) |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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32
Образец выполнения задания 7
Проведите полное исследование функции |
y |
2 x3 |
и построй- |
||||
3 |
x2 |
||||||
те ее график. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
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|
|
||
Р е ш е н и е . |
|
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|
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|
1. Область определения. |
|
|
|
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|
D (y): 3 – x 2 ≠ 0, x 2 ≠ 3, x 3 . |
|
|
|
|
|
||
D (y) = ; 3 3; |
3 |
3; . |
|
|
|
|
2. Непрерывность, точки разрыва.
На области определения функция является непрерывной как ча-
стное двух непрерывных функций. x 3 , |
x 3 – точки раз- |
рыва данной функции: |
|
lim |
y(x) |
lim |
2 x3 |
, lim |
y(x) lim |
2 x3 |
; |
|
3 x2 |
3 x2 |
|||||||
x 3 0 |
|
x 3 0 |
x 3 0 |
x 3 0 |
|
lim y(x) lim |
2 x3 |
, lim |
y(x) lim |
|
2 x3 |
. |
||||
3 x2 |
|
3 x2 |
||||||||
x 3 0 |
x 3 0 |
x 3 0 |
x 3 0 |
|
|
|||||
Значит, |
x |
3 |
|
– точки разрыва второго рода. |
|
|
|
|||
3. Четность, нечетность, периодичность. |
|
|
|
|||||||
y x |
2 x3 |
|
|
|
2 x3 |
y x y x |
функция является не- |
|||
3 x2 |
|
3 x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
четной y (x + T) ≠ y (x) ни для каких значений Т. |
Следовательно |
функция не является периодической.
4. Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.
|
|
6 x2 |
3 x 2 2 x3 2 x |
|
18 x2 6 x4 4 x4 |
18 x2 2 x4 |
|||
x |
3 x2 2 |
|
= |
3 x2 2 |
= 3 x2 2 . |
||||
y |
|
||||||||
|
|
|
|
x 0 |
: |
18 x2 2 x4 |
|
|
|
|
|
|
3 x2 2 |
|
|
||||
|
|
|
y |
0 |
|
33
18 x2 – 2 x 4 = 0, |
3 x2 2 0 |
|
2 x 2 (9 – x 2) = 0 |
x 3 , |
x 3 . |
x = 0, x = – 3 , x = 3. |
||
Критические точки: x 3 , x = ± 3, |
x = 0. |
Критическими точками область определения разбивается на ряд интервалов. Определим знаки производной и поведение функции на интервалах:
|
min |
+ |
+ |
max |
|
y (x) : – |
+ |
– |
x |
||
y(x) : |
-3 3 |
0 |
|
3 |
|
|
|
x = – 3 – точка минимума, x = 3 – точка максимума. Значение функции в точках экстремума:
ymin y 3 |
2 3 3 |
|
54 |
|
54 |
9, |
|
3 3 2 |
3 9 |
6 |
|||||
|
|
|
|
y max = y (3) = – 9.
5. Направления выпуклости и точки перегиба.
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 x2 2 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 x2 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=2 |
|
18 x 4 x |
|
9 6 x |
|
|
x |
|
9 x |
|
|
x |
|
2 3 x 2 x |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
162x |
108x |
3 |
18x |
5 |
36x |
3 |
|
24x |
5 |
|
|
4x |
7 |
4x 27x |
2 |
9x |
4 |
|
3x |
4 |
x |
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
=2 4 x7 42 x5 144 x3 162 x 108 x3 48 x5 4 x7 =
3 x2 4
= 2 |
6 x5 36 x3 162 x |
= 12 |
x5 6 x3 27 x |
= |
12 |
x x4 6 x2 27 |
. |
|
3 x2 4 |
|
|||||
|
3 x2 4 |
|
|
3 x2 4 |
y x 0 : x = 0, |
x 4 + 6 x 2 – 27 = 0, 3 – x 2 ≠ 0. |
x 2 = t, |
t ≥ 0, x 3 |
t 2 + 6 t – 27 = 0
t 1 = – 9 – не удовлетворяет ограничению t ≥ 0
t 2 = 3 |
x 3 D (y) |
|
+ |
|
– |
+ |
|
– |
|
|
y (x) : |
|
|
|
x |
||||
y(x) : |
|
|
0 |
|
3 |
|
||
выпукла |
3 |
выпукла |
выпукла |
выпукла |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Точки пересечения графика с осями координат. |
|||||
а) |
Точки пересечения с осью Ох |
(у = 0): |
||||
|
|
2 x3 |
0 |
х = 0. |
||
|
|
3 x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
Точки пересечения с осью Оу |
(х = 0): |
||||
|
|
y |
2 03 |
0. |
||
|
|
3 02 |
||||
|
|
|
|
|
Итак, единственная точка пересечения с осями координат (0; 0)
35
7. Асимптоты.
а) Горизонтальные асимптоты
lim |
2 x3 |
|
, |
|
|
x2 |
|
||
x 3 |
|
|
||
lim |
2 x3 |
|
. |
|
|
x2 |
|
||
x 3 |
|
|
Следовательно, горизонтальных асимптот нет. б) Вертикальные асимптоты
x 3 – точки разрыва. В п. 2 исследования было показано,
что
|
|
|
lim |
y(x) ; |
|
|
||||||||
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lim |
y(x) , |
|
|
||||||||
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
значит, x 3 |
x |
3 – вертикальные асимптоты. |
|
|||||||||||
б) Наклонные асимптоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение наклонной асимптоты у = kx + b. |
|
|
||||||||||||
k lim |
y x |
lim |
|
|
2 x3 |
|
= |
lim |
|
2 x3 |
2 |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
x 3 x2 x |
|
x x3 3 x |
|
||||||||||
b lim y x k x =b lim |
|
2 x3 |
|
= |
||||||||||
|
|
|
2 x |
|||||||||||
3 x2 |
||||||||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
= lim |
2 x3 |
6 x 2 x3 |
0. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, y = –2 x – наклонная асимптота.
36
8. График
y
y |
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-3 |
|
3 |
-1 |
0 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
-7 |
|
|
|
|
|
|
|
y 2x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2x3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Задание 8. Найдите кривизну и радиус кривизны линии в точке с абсциссой х0.
8.1. y 4x x2 , |
|
x |
|
2 |
8.2. y 4 , |
x0 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.3. y ln x, x0 |
|
1 |
|
8.4. y |
x3 |
1 |
, x0 |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.5. y |
x2 |
4x |
, |
x |
1 |
8.6. y ex , |
|
|
x |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.7. y |
x3 |
|
, x0 |
1 |
8.8. y |
x3, |
x |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.9. y 1 |
x2 |
|
, |
|
|
x |
|
|
1 |
8.10. y x3, |
x |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.11. y x3, |
|
x |
|
1 |
8.12. y |
|
|
3x, |
x |
|
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.13. y cos x, |
|
|
x |
|
|
|
8.14. y sin x, |
x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.15. y e2x , |
x |
|
0 |
8.16. y 2x x |
2 , x |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
8.17. y 2ln x, |
|
|
|
x |
|
|
1 |
8.18. y |
x3 |
, |
x |
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.19. y |
5x, |
|
x |
|
|
5 |
8.20. y e x , |
x |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8.21. y 3x2 1, |
|
x |
1 |
8.22. y e3x , |
x |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
8.23. y 4ln(x 1), |
x 2 |
8.24. y 2cos x, |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.25. y |
|
x3 , |
x |
|
4 |
8.26. y |
2 |
, |
|
|
x0 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8.27. y x2 , |
|
x |
|
1 |
8.28. y |
x2 |
|
|
, |
x |
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.29. y 1 , x0 1 |
|
8.30. y e4x , |
x |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Образец выполнения задания 8
Найдите кривизну и радиус кривизны линии y |
x4 |
в точке с |
|
4 |
|||
|
|
абсциссой х0 = 1.
Р е ш е н и е .
Найдем производные функции первого и второго порядков, и их
значения в точке с абсциссой |
х0 = 1. |
||||
|
|
x4 |
' |
||
y ' |
|
|
|
x3 , y' (1) = –1, |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
y'' = (-x3) ' = -3x2, y'' (1) = –3.
Подставим полученные выражения в формулы кривизны и радиуса кривизны кривой:
k |
|
y '' |
|
|
, R |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
k |
|
|
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(1 ( y ')2 )2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим
k |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
8 |
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(1 |
( 1)2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R |
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 . |
|||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : k |
|
3 |
, R |
2 2 |
. |
|
2 |
2 |
3 |
||||
|
|
|
39
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Задание 9. Найдите неопределенные интегралы.
9.1. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
7 |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
(4x |
1) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
1 ln x |
dx |
; |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 1 ln2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3) |
(4x 2)cos 2x dx ; |
3) |
(x2 |
|
1)e3xdx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
3 x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3x 1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
cos3 x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5) |
|
|
cos3 x |
dx ; |
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6) |
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x dx |
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sin |
2 |
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x |
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2 |
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|||||||||||||
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x |
2 |
(x |
2 |
4x 1) |
6) |
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2x |
7x |
8 |
dx |
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(x |
|
2) |
2 |
|
(x |
1) |
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||
9.3. |
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|
dx |
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9.4. |
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|||
1) |
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|
; |
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|
1) |
cos(2x 1) dx ; |
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5 4x2 |
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|
2) |
arcsin |
4 |
x dx ; |
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|
xdx |
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2) |
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|
; |
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|
1 x2 |
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||||||||||||
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|
1 x4 |
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|
3) |
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|||||||||||||||||
3) |
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(x 1)2 sin 5x dx ; |
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ln(x2 4)dx ; |
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|
4) |
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|
x 1 |
dx |
; |
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|
1 2 |
|
x |
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|||||||||||||
4) |
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|
dx ; |
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|
3 |
x |
|
1 |
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||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
x |
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5) |
sin xsin 2x dx ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||
5) |
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|||||||||||||||||||||||||||
sin3 2x dx ; |
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|
6) |
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|
|
x dx |
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|||||||||||||||||||||
6) |
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|
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|
|
5x |
2 |
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|
dx |
|
(x |
|
2)(x |
3 |
8) |
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|
(x 1)(x |
3 |
|
1) |
|
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|||||||||||||||
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|
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||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
||
9.5. |
|
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|
9.6. |
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||
1) |
e |
|
x |
dx ; |
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|
1) |
sin(4 3x) dx ; |
||||||||||||||||||||||||
4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
2) |
|
|
ex dx |
|
; |
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
xln2 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) |
(x |
2 |
2x 1)cos 2x dx ; |
arctg4x dx ; |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40