- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства
- •1.3. Таблица интегралов
- •1.4. Подведение под знак дифференциала
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •1.7. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •1.8.1. Разложение многочлена на множители. Простейшие дроби.
- •1.8.2. Разложение правильной дроби на простейшие дроби
- •Примеры
- •1.9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок
- •2. Определенный интеграл
- •2.2. Свойства определенного интеграла
- •2.2.1. Свойства, выражаемые равенствами
- •2.2.2. Свойства, выражаемые неравенствами.
- •2.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •2.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы первого рода
- •3.1.1. Определение несобственных интегралов первого рода
- •3.1.2. Геометрический смысл несобственных интегралов первого рода
- •3.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона-Лейбница)
- •3.4. Свойства несобственных интегралов
|
13 |
b |
|
m (b a) f (x) dx M (b a) . |
(2.4) |
a
Доказательство. Докажем первое свойство. Остальные доказываются аналогично.
a |
|
n |
|
n |
|
|
f (x) dx lim |
f ( i ) xi |
lim 0 xi |
0 |
|
||
b |
0 |
i 1 |
0 |
i 1 |
|
|
5. Теорема о среднем значении. |
Пусть функция интегрируема на отрезке |
и |
||||
m f (x) M |
x [a, b]. Тогда |
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
f (x) dx (b a) , |
(2.5) |
a
где m M .
Доказательство.
1 b
m b a a f (x) dx
называется средним значением функции |
на отрезке |
. |
||
По свойству 4 выполняются неравенства |
(2.4). Следовательно, |
|||
|
1 |
b |
|
|
M . Обозначив |
f (x) dx , получим (2.5) |
|
||
b a |
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке |
, то существует хотя бы одна |
||||
|
|
|
b |
|
|
точка [a,b] : |
f (x) dx f ( ) (b a) . |
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
Пример. Найти среднее значение функции |
на отрезке |
. |
|||
► |
|
|
◄ |
|
|
|
|
|
2.3.Определенный интеграл как функция верхнего предела
Если функция f (x) интегрируема на промежутке |
, то она интегрируема и на |
|||||||
любом промежутке [a, x] , где a x b . Интеграл |
|
является функцией, завися- |
||||||
щей от |
. Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(x) f (t) dt . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Теорема 1 (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если |
||||||||
функция |
интегрируема на отрезке |
, то функция (x) будет непрерывной функ- |
||||||
цией на этом отрезке. |
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Придадим |
точке |
x0 [a, b] |
приращение x так, чтобы |
|||||
|
|
|
|
x0 |
x |
x0 |
x0 |
x |
x0 x [a, b]. Тогда (x0 ) (x0 |
x) (x0 ) |
f |
(t) dt |
f (t) dt |
f (t) dt . |
|||
|
|
|
|
|
a |
a |
|
x0 |
По лемме об интегрируемой функции из п. 2.1 функция |
ограничена на отрезке |
|||||||
: |
|
. По теореме о среднем значении из п. 2.2.2 существует |
||||||
|
x0 |
x |
|
|
|
|
|
|
такое , |
что |
f (t) dt x . Следовательно, lim (x0 ) lim x 0 |
|
|||||
|
|
x0 |
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
Теорема 2 (Барроу). Если функция |
непрерывна, то |
|
: |
|||
|
|
|
|
. |
|
(2.6) |
Следствие. Если функция |
непрерывна на отрезке |
, то для нее всегда сущест- |
||||
вует первообразная. |
|
|
|
|
|
|
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Если функция |
непрерывна на отрезке |
|||||
, то верна формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
f (t) dt F (b) F (a) . |
|
(2.7) |
||
|
|
a |
|
|
|
|
Доказательство. Пусть функция |
непрерывна на отрезке |
. Тогда по теореме |
||||
Барроу функция |
является первообразной для функции |
|
. Пусть F(x) - также |
|||
первообразная для |
функции |
. |
Тогда по теореме о |
первообразной из п. 1.1 |
||
|
|
|
|
x |
|
|
(x) F(x) C . Следовательно, |
(x) f (t) dt F (x) C . |
При |
a |
|
x |
|
C F(a) . Тогда f (t) dt F (x) F (a) . При |
x b получаем |
a |
|
формулу (2.7) |
|
Формулу (2.7) называют также основной формулой интегрального исчисления. Разность в правой части формулы обозначают таким образом: F (x) ba .
a
f (x) dx F (b) F (a) F (x) ba .
b
|
|
|
|
|
3 |
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
ln 9 ln 5 ln |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример. |
|
|
|
|
ln |
|
2 x 3 |
|
|
9 / 5 |
|
◄ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 x 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Замечание. |
Формулу Ньютона-Лейбница можно применять при вычислении инте- |
||||||||||||||||||||||||
грала |
|
|
|
|
|
|
|
только тогда, |
когда подынтегральная функция непрерывна на отрезке |
|||||||||||||||||
. Нельзя применить формулу Ньютона-Лейбница, например, при вычислении инте- |
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
грала |
|
, |
|
т.к. подынтегральная функция |
|
терпит разрыв в точке |
|
|
||||||||||||||||||
2 x 3 |
|
2 x 3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
Замена переменной в определенном интеграле |
||||||||||||||||||||||||
СР |
Определение. Функция, |
имеющая непрерывную производную, называется непре- |
||||||||||||||||||||||||
рывно-дифференцируемой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Теорема. |
Пусть функция |
|
|
непрерывна на отрезке |
, функция x (t) не- |
||||||||||||||||||||
прерывно дифференцируема на отрезке [ , ] . Причем, ( ) a, ( ) b . Пусть, кроме |
||||||||||||||||||||||||||
того, функция (t) отображает отрезок [ , ] на отрезок |
. Тогда верна формула |