- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства
- •1.3. Таблица интегралов
- •1.4. Подведение под знак дифференциала
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •1.7. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •1.8.1. Разложение многочлена на множители. Простейшие дроби.
- •1.8.2. Разложение правильной дроби на простейшие дроби
- •Примеры
- •1.9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок
- •2. Определенный интеграл
- •2.2. Свойства определенного интеграла
- •2.2.1. Свойства, выражаемые равенствами
- •2.2.2. Свойства, выражаемые неравенствами.
- •2.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •2.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы первого рода
- •3.1.1. Определение несобственных интегралов первого рода
- •3.1.2. Геометрический смысл несобственных интегралов первого рода
- •3.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона-Лейбница)
- •3.4. Свойства несобственных интегралов
|
|
15 |
b |
|
|
|
|
(2.8) |
f (x) dx f (t) (t) dt . |
||
a |
|
|
Пример
3 / 2 |
|
dx |
|
|
|
|
x 3sin t |
|
x 0 t 0 |
|
|
1 |
/ 6 |
dt |
|
|
1 |
|
|
/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
(9 x |
|
) |
|
|
dx 3cos t dt |
|
x 3/ 2 t / 6 |
|
9 |
0 |
cos |
|
t |
9 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ◄ 27
2.5.Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
СР |
Пусть функции u u(x) и v v(x) |
непрерывно дифференцируемы на отрезке |
. |
|||
|
Тогда верна формула |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
u dv u v |
|
ba |
v du . |
(2.9) |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
a |
|
Пример
8 — ◄
3. Несобственные интегралы
Если промежуток интегрирования бесконечный |
, а |
||
также если подынтегральная функция терпит разрыв на промежутке |
интегрирования |
||
, то рассматриваются несобственные интегралы. |
|
||
3.1. Несобственные интегралы первого рода |
|
||
3.1.1. Определение несобственных интегралов первого рода |
|
||
Определение 1. Пусть функция f (x) непрерывна на интервале [a, ) . Если су- |
|||
ществует предел |
|
|
|
|
B |
|
|
|
lim f (x) dx , |
(3.1) |
|
|
B |
|
|
|
a |
|
|
то его называют несобственным интегралом первого рода от функции |
f (x) на интер- |
||
вале [a, ) и обозначают |
: |
|
|
|
def |
B |
|
|
f (x) dx lim |
f (x) dx . |
(3.2) |
a |
B |
a |
|
|
|
При этом если предел (3.1) конечен, то говорят, что интеграл сходится (существует). Если предел (3.1) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится
(не существует). |
|
|
Определение 2. Пусть функция |
непрерывна на интервале |
. Тогда |
|
. |
(3.3) |
Определение 3. Пусть функция |
непрерывна на интервале |
. Тогда |