Лабораторный практикум по молекулярной физике

равенство, будем интегрировать уравнение (1) методом разделения переменных. Для этого запишем его в виде:

	dT		= −	q1		dτ .	(2)
				c01m0 + cT mT
	T − Tср
Введем обозначение:
k 1 =				q1	.		(3)
		c 01 m		0 + c T m T

Величина k1 имеет в СИ следующую единицу измерения: [k1] = [qcm] = 1 с-1.

k1 характеризует скорость изменения температуры охлаждаемой системы и называется темпом охлаждения.

Для решения дифференциального уравнения (2) необходимо задать начальное условие: Т = Т0 при τ = 0.

Проинтегрировав правую и левую части уравнения (2), получим:

ln(T – T ср)= - k1τ + ln C,

(4)

где С – константа интегрирования. Найдем ее из начально-

го условия: C = T0 – T ср при τ = 0.

Тогда выражение (4) можно записать следующим образом:

ln(T - Tср) = ln(T0 – T ср) - k1τ,	(5)
или:
T -Tср = (T0 - Tср )× e −k1τ .	(6)

Такой темп охлаждения сохранится до тех пор, пока температура олова не достигнет температуры кристаллизации Тk = Тnл. Эта температура не будет изменяться до тех пор, пока не произойдет полная кристаллизация олова, хотя тепло продолжает отдаваться в окружающую среду.

50

После окончания кристаллизации температура олова с тиглем начинает опять уменьшаться, причем снова по экспоненциальному закону регулярного режима:

T - Tср = (Tk - Tср )× e				−k2	( τ−τk )		,	(7)
где
k 2	=		q 2			,		(8)
		c 02 m 0
			+ c T m T

Тk – температура кристаллизации олова, k2 – темп охлаждения твердого олова с тиглем, с02 – удельная теплоемкость твердого олова.

Кривая зависимости температуры от времени при охлаждении олова имеет вид, показанный на рис. 1.

Т, К

τ, с

Рисунок 2 - Кривая охлаждения олова Здесь участок АВ соответствует охлаждению жид-

кого олова, ВС – участок кристаллизации олова, СД – охлаждение твердого олова.

Вблизи точки В наблюдается небольшой минимум температуры, а вблизи точки С – переходный участок, где темп охлаждения меньше k2 . Нарушение регулярного ре-

51

жима охлаждения вблизи точки В связано с возникновением так называемого метастабильного состояния (переохлажденное состояние жидкости, когда температура жидкости опускается ниже температуры кристаллизации Тк, а кристаллизация ещё не наступает), которое зависит от чистоты исследуемого вещества.

Количество тепла, выделенное при кристаллизации олова, равно:

Q = l m0 ,

(9)

где l - удельная теплота плавления, численно равная теплоте кристаллизации.

2.2. Вывод формулы для определения λ

Можно записать, что тепло, выделенное при кристаллизации, равно количеству теплоты, отданному телом за время кристаллизации в окружающую среду:

Q = q(Tk - Tср)(tk - tн),

(10)

где q = (q1 +q2)/2– средняя скорость теплоотдачи в окружающую среду, tн и tk – моменты времени, соответствующие началу и концу кристаллизации олова.

Приравнивая правые части формул (9) и (10), полу-

чим:

lm0 = q(Tk - Tср)×(tk - tн).

	Отсюда:	q(Tк − Тcp )(t k − t н )
	l =		.	(11)
		mo
	Выражение для q получим, используя формулы (3) и (8):
	q1	= k1(c01m0 + cT mT),		(12)
	q2	= k1(c02m0 + cT mT).		(13)
	Следовательно,

q= 1 [k1 (c01m0 + cT mT )+ k2 (c02 m0 + cT mT )] .

2

52

Окончательно выражение для λ получится в виде:

λ = (Tk − Tср )(τ k − τ н ) [k1 (c01m0 + cT mT )+ k2 (c02 m0 + cT mT )]. (14)

2m0

k1, k2, τн, τk находятся из графика, построенного по экспериментальным данным, аналогичного рис. 2.

Для этого запишем уравнение (5) для момента времени τн:

ln(Tk - Tср) = ln(T0 – T ср) - k1τн. (15)

Отсюда получим:

k 1 =	ln (T 0 − T ср )− ln (T k − Tср ) .			(16)
	τ н
Аналогично, записав (5) для моментов времени τk				и τ2, бу-
дем иметь: ln(Tk – T ср) = ln(T0		- Tср) – k 2 τk ,
ln(T2 - Tср ) = ln(T0		– T ср) – k 2 τ2.

Вычтя из первого уравнения второе, получим следующую формулу для k2,:

k2 = ln(Tk − Tср )− ln(T2 − Tср ). (17)

τ2 − τk

Вкачестве измерителя температуры в данной лабора-

торной работе используется термоэлектрический термометр (принцип его действия – см. лабораторная работа №2). Термо-э.д.с. пропорциональна разности температур “ горячего“ Т и “ холодного” Тср спаев, поэтому кривую охлаждения олова можно построить в переменных E и τ. Если эту же кривую построить в полулогарифмических координатах ln E и τ (рис. 3), то участки АВ и СД станут прямолинейными, что позволит более точно определить моменты начала τн и конца τк кристаллизации.

Таким образом, для определения темпов охлаждения k1 и k2 необходимо построить зависимость E(τ) в полулогарифмических координатах (рис.3). Моменты времени τн и τк соответствуют точкам пересечения прямых АВ и СД с линией кристаллизации ВС.

53

0

τн

τк

τ2

τ, c

Рисунок 3- Кривая охлаждения олова в полулогарифмическом масштабе

С учетом того, что термо-э.д.с в первом приближении пропорциональна разности температур, при которых находятся концы спаев термопары, формулы (16) и (17) для вычисления k1 и k2 примут вид:

k1	=	ln E0 − ln Ek			=		ln(E0 / Ek )		,		(16а)
			τ н
								τ н
k2	=		ln Ek	− ln E2		=		ln(Ek / E2 )		.	(17а)
			τ 2	− τ k
								τ 2 − τ k

2.3. Вывод формулы для изменения энтропии при кристаллизации

Энтропия, являющаяся функцией состояния, характеризует вероятность микросостояния физической системы и определяется выражением

54

S = k×ln w,	(18)
которое называется формулой Больцмана.
Здесь k – постоянная Больцмана,	w - термодинамическая

вероятность (или статистический вес), т.е. число микросостояний, посредством которых реализуется данное макросостояние.

Термодинамическая вероятность, а, следовательно, и энтропия, являются функциями параметров состояния системы. В частности, при плавлении и кристаллизации вещества энтропия его должна изменяться.

Методы измерения энтропии при тепловых взаимодействиях основаны на измерении приведенного количества тепла.

Приведенное количество тепла есть отношение элементарного количества тепла, которым обменивается система, к абсолютной температуре Т, при которой происходит этот

обмен. Итак,
dS = δ Q T .	(19)

Полное изменение энтропии при обратимом переходе системы из состояния А в В определяется путем интегрирования выражения (19):

Β	δQ
Α∫	T	.	(20)
S B − S A =

В частности, изменение энтропии при кристаллизации (так же, как и при плавлении), определяется формулой:

S B - S A	= DS = l × m .	(21)
	Tk

Так как энтропию в некотором смысле можно считать мерой беспорядка в системе, то при кристаллизации энтропия олова уменьшается, что соответствует переходу системы в более упорядоченное состояние.

55

3.Описание установки

3.1.Принадлежности: тигель с оловом, печь, измерительная термопара, секундомер, цифровой вольтметр.

3.2.Установка (рис.4) состоит из укрепленного на конце штанги тигля с оловом, который можно помещать в электрическую печь и отводить в сторону от печи после того, как олово расплавится.

Один спай термопары находится в глицерине при комнатной температуре, а “ горячий“ спай её помещается в расплавленное олово в тигле.

Термопара подключена к универсальному цифровому вольтметру для измерения термоэлектродвижущей силы (термо-э.д.с) в цепи термопары. Показания вольтметра пропорциональны разности температур спаев термопары:

E=α(T– Тср),

(22)

где α - постоянная термопары.

56

1 - тигель с оловом, 2 - штатив, 3 - нагреватель, 4 - сосуд с глицерином, 5 - измерительная термопара, 6 - изоляционный блок, 7 - корпус.

Рисунок 4-Установка для определения удельной теплоты плавления олова

4. Порядок выполнения работы

4.1. Записать необходимые для расчетов данные в тетрадь:

с01 = 267,9 Дж/(кг×К) - удельная теплоемкость жидкого олова, соответствующая температуре 2400С;

с02 = 246,6 Дж/(кг×К) - удельная теплоемкость твердого олова, соответствующая температуре 2300С;

сТ, mТ и m0 – удельная теплоемкость фарфорового тигля, массы тигля и олова (приведены на табличке возле установки);

Тк = 231,90С – температура кристаллизации олова.

Тср - температура воздуха по показанию контрольного термометра, висящего на стене в лаборатории.

4.2. Поместить тигель с оловом в держателе над печью так, чтобы тигель входил в центральное отверстие муфельной печи.

57

4.3.Включить установку в сеть и повернуть ручку регулировки напряжения.

4.4.Пока олово нагревается, подготовить таблицу для записи результатов эксперимента, предусмотрев в ней следующие колонки:

∙номер по порядку,

∙время в секундах,

∙термо-э.д.с. в милливольтах,

∙логарифм термо-э.д.с.

Всего в таблице необходимо предусмотреть 50 − 100 строк в зависимости от того, через какие интервалы времени будут производиться измерения.

4.5. Следить за плавлением олова в тигле и после того, как оно расплавится, поместить в олово “ горячий“ спай термопары. После достижения показания вольтметра 20 мВ выключить печь и отвести держатель с тиглем в сторону от нагревателя, расположив его над столом на высоте 15 ÷ 20 см.

4.6.Включить секундомер и сразу же начать запись показаний вольтметра через каждые 10÷20 сек. Измерения производить до тех пор, пока показания вольтметра на достигнут значения, в два раза меньшего по сравнению со значением термо-э.д.с, соответствующим температуре кристаллизации.

4.7.Построить кривую охлаждения в переменных

Е= f(τ).

4.8.Построить этот же график в полуогарифмиче-

ских координатах: lnE = f(τ) и определить по нему значения времени, соответствующие началу τн и концу τк процесса кристаллизации, а также значение lnЕк, соответствующее температуре кристаллизации.

58

4.9.По наклону участков AB и СД полулогарифмического графика определить темпы охлаждения k1 и k2, используя формулы (16а) и(17а).

4.10.Используя табличное значение температуры плавления олова и измеренную температуру окружающей среды в лаборатории, с помощью формулы (14) найти удельную теплоту плавления олова.

4.11.По формуле (21) вычислить изменение энтропии олова при кристаллизации.

4.12.Оценить абсолютную и относительную погрешности определения удельной теплоты плавления олова

исравнить полученное значение λ с его табличным значением из справочника.

5. Контрольные вопросы

5.1.Расскажите о фазовых переходах первого рода. Начертите диаграмму состояний и объясните её.

5.2.Что называется удельной теплотой плавления?

5.3.В каких фазах находится вещество при кристаллизации и как изменяется при этом его внутренняя энергия? Какая часть ее (кинетическая или потенциальная) при этом изменяется?

5.4.Как изменяется энтропия тела при кристаллиза-

ции?

5.5.Чем можно объяснить наличие переходных участков на кривой охлаждения вблизи точек В и С на рис. 1?

5.6.Какие погрешности возникают при измерениях? Объясните их причины.

5.7.Какие упрощающие предположения сделаны при выводе формулы (14), и как они скажутся на точности полученного результата?

5.8.Как улучшить данную работу, чтобы уменьшить погрешности измерений?

59