Лабораторный практикум по молекулярной физике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА

1. Цель работы

Экспериментальное определение вязкости воздуха.

2. Теоретическое введение 2.1. Вязкое трение

Рассмотрим слой жидкости, заключенный между двумя пластинами, находящимися на расстоянии у друг от друга (рис.1а). Пусть нижняя пластина 1 покоится, а верхняя пластина 2 площадью S под действием внешней силы F движется в направлении оси х с постоянной скоростью υ0 .

Тогда сила трения f, приложенная к верхней пластине 2, равна и противоположна действующей внешней силе

F (рис.1 а).

Благодаря внутреннему трению слои жидкости, лежащие очень близко к поверхности тела, движутся практически со скоростью движения данного участка поверхно-

сти тела. Если y<< S , скорость жидкости между пластинками будет линейно возрастать от 0 до υ0 при изменении у

от 0 до у (рис. 1.б).
На основании измерения скорости υ0	и силы F
Ньютон нашел следующую закономерность:
f = η υ0 S ,	(1)

y

где коэффициент пропорциональности η называется вязкостью жидкости (или газа) и зависит только от свойств жидкости (газа), заполняющей пространство между поверхностями (при данной температуре).

Отношение силы трения f к площади поверхности пластины S

93

τ xy	=ηυ0	(2)
	y

называется касательным напряжением трения. Здесь индексы х и у указывают направление движения (х) и направление, по которому происходит изменение величины скорости (у).

Представим себе, что жидкость между поверхностями разбита на параллельные тонкие слои. Каждый слой движется равномерно, причем верхний слой тянет лежащий под ним слой силой f вперед, нижний слой тянет соседний верхний с силой, равной –f , назад. Таким образом, сила трения f передается от одного слоя жидкости к другому, следовательно, от одной поверхности к другой. На каждый слой действуют две равные по величине и противоположные по направлению силы, поэтому и движение его равномерное. Сказанное полностью относится и к напряжению трения τxy, так как оно равно силе трения, действующей на единицу площади поверхности.

В СИ вязкость η измеряется в Па×с (паскаль×секунда).

Вязкость η различна для разных газов и возрастает с повышением температуры.

Для газов вязкость η связана со средней длиной свободного пробега <l> следующим соотношением:

η =	1	< l >< u > ρ ,	(2*)
3

где <u> - средняя арифметическая скорость молекул, ρ - плотность газа при данной температуре. Известно, что для идеального газа

< u >=	8RT	, ρ =	pM	,	(2**)
	πM		RT

93

- градиент скорости.

где M - молярная масса газа, p - давление, T - абсолютная температура.

Из (2*) и (2**) следует, что

< l >=	3η		πRT	= 1,88 η		RT		.	(2***)
	p
			8M	p		M

Наряду с динамической вязкостью η часто пользуются также кинематической вязкостью ν жидкости (или газа), определяемой так:

ν = η ρ ,

(3)

где ρ - плотность жидкости.

Кинематическая вязкость измеряется в СИ в м2/с.

В общем случае, когда вблизи поверхности тела скорость жидкости изменяется произвольно в направлении, перпендикулярном к рассматриваемому участку поверхности, численное значение касательного напряжения трения определяется по формуле:

τ xy	= η	d υ	,	(4)
		dy

где у - направление нормали к элементу поверхности, dυ

dy

2.2. Течение вязкой жидкости по трубе Рассмотрим участок цилиндрической трубы, нахо-

дящийся на большом удалении от места входа в трубу (рис.2.). Предположим, что это расстояние такое, что во всех поперечных сечениях рассматриваемого участка движение одинаково (одинаковы распределения скоростей, касательного напряжения по сечению трубы и т.д.). Это означает, что в рассматриваемом участке υ и τ не зависят от х, а являются только лишь функциями расстояния от оси

93

трубы r, т.е. течение установившееся. Здесь цилиндрическая система координат выбрана так, что ось x направлена вдоль оси трубы по направлению течения, ось r - по радиусу трубы.

Выберем два поперечных сечения (рис.2.) на расстоянии L друг от друга. Между двумя поперечными сечениями выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины L. Так как распределение скоростей в обоих сечениях, по предположению, одинаково, то частица жидкости, переходя от первого сечения ко второму, не испытывает ускорения. Поэтому можно считать, что силы, приложенные к объему жидкости, заключенному между сечениями 1 и 2 и цилиндрической боковой поверхностью радиуса r, находятся в равновесии. В направлении течения вдоль оси действует сила, обусловленная разностью давлений в сечениях 1 и 2: (р1-р2)×p r2.

На боковую поверхность выделенного объема жидкости действует сила трения, равная t×2prL. По условию, эти силы равны по величине:

(р1-р2)×p r2=t×2prL.					(5)
Отсюда получаем:
t =	p1 - p2	×	r	.	(6)
	L
		2

Из этого равенства видно, что при течении по трубе касательное напряжение изменяется по сечению трубы по линейному закону от нуля на оси трубы при r = 0 до максимального значения

t max	=	p1 − p2	×	R	(7)
		L
			2

на стенке трубы при r = R.

Если движение жидкости в трубе ламинарное, то, по закону Ньютона, касательное напряжение трения t опреде-

93

ляется формулой (4). Применительно к данному случаю можно записать формулу (4) в виде:

τ = -η	dυ	.	(8)
	dr

Знак “ минус” берется потому, что t - величина положительная, а при выбранной нами системе координат dυ/dr - отрицательная.

Подставляя (8) в (6), получим:

dυ	= -	p1 − p 2	×	r	.
dr		L		2η

Интегрируя это уравнение, получим:

υ = -	(p	- p	2	)× r 2
	1				+ C .	(9)
		4ηL

Постоянную интегрирования C найдем из условия прилипания вязкой жидкости к стенкам трубы, т.е.υ = 0 при r = R (R - радиус трубы), отсюда:

		C =		p - p			2	×	R2
				1						.	(10)
					L				4η
	Подставляя (10) в (9), получаем:
	υ =	p1 − p2		×	1	(R2			- r 2 ).		(11)
		L			4η

Из этого выражения видно, что скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону. Величина ее равна нулю на стенке трубы при r = R и достигает

максимального значения при r = 0.
υmax =	p - p	2		×	R2
	1					.	(12)
	L				4η

Зная распределение скорости по сечению трубы, можно подсчитать секундный объемный расход жидкости q через поперечное сечение трубы. Для этого выделим в сечении трубы элементарное кольцо радиусом r и толщи-

93

ной dr, настолько малой, чтобы внутри этого кольца скорость течения жидкости можно было считать постоянной (

рис.3.).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

93

Рисунок 3.

Тогда через поперечное сечение тонкого кольца площадью

2pr×dr за секунду пройдет объем жидкости:
dq = υ × 2π rdr .	(13)

Подставляя сюда значение скорости из формулы (11) и интегрируя по всему сечению трубы, найдем секундный объемный расход жидкости:

R

q = 2p ∫urdr =

0

или иначе:

p1 - p2

	p		- p	2			p R	4
	1					×	8h	,
			L
=		8h × q × l					.	(14)
		p × R4

Равенство (14) выражает так называемый закон Пуазейля: paзность давлений, необходимая для того, чтобы через сечение трубы проходил в единицу времени заданный объем жидкости q, при ламинарном течении пропорциональна длине трубы, вязкости жидкости и обратно пропорциональна четвертой степени радиуса трубы.

Закон Пуазейля используется для экспериментального определение вязкости h по измеренным значениям секундного объемного расхода жидкости q, радиуса трубы R и

93

перепада давления р1 - р2 на участке трубы длиной L по формуле:

η =	πR	4 (p - p	2	)
		1		.	(15)

8qL

Зная секундный объемный расход жидкости в трубе, найдём среднюю по сечению трубы скорость:

< υ >=	q	=	p - p	2	×	R 2
			1				.	(16)
	πR 2		L			8η

Из сравнения формул (12) и (16) видим, что максимальная скорость течения на оси трубы υmax в 2 раза больше средней по сечению скорости.

υmax = 2 < υ > .

3.Описание установки и методика выполнения эксперимента.

3.1.Принадлежности: капилляр (цилиндрическая труба), укрепленная на вертикальной стойке, микроманометр типа ММН, газометр, секундомер, мерная колба.

3.2.Схема экспериментальной установки изображена на рис.4. Поток воздуха через капилляр 5 создается за счет перепада давления на его концах. Нижний конец капилляра через тройник 11 соединяется с газометром 1, заполненным водой. При истечении воды из газометра через кран 3 над поверхностью создается разрежение. Следовательно, давление на нижнем конце капилляра меньше атмосферного. Перепад давления на концах капилляра измеряется микроманометром 8, соединенным с газометром

и нижним концом капилляра через тройник 11. Шкала микроманометра 8, проградуированная в мм

водяного столба, позволяет измерять разность давлений до 250 мм Н2О (рабочей жидкостью является этиловый

93

спирт). Для увеличения чувствительности микроманометра измерительной трубке придается наклонное положение. Разность между атмосферными давлением и давлением на нижнем конце капилляра в Па определяется длиной n столба спирта в делениях, отсчитанной по шкале микроманометра, умноженной на коэффициент k (0.2; 0.4; 0.6; 0.8;), соответствующий наклону измерительной трубки, и на ускорение свободного падения g.

Установки мениска спирта в измерительной трубке манометра на ноль шкалы производится с помощью цилиндра, глубина погружения которого в спирт регулируется винтом. Микроманометр снабжен 2-мя уровнями, расположенными взаимно перпендикулярно на плите. Установка прибора по уровням производится двумя регулировочными ножками. На крышке микроманометра имеется 3-х ходовой кран, имеющий 2 рабочих положения. В первом рабочем положении измеряется разность атмосферного давления и давления в системе: через штуцер (+) - если в системе давление выше атмосферного, через штуцер (-) - если давление в системе ниже атмосферного. Во втором положении к резервуару микроманометра и к верхнему концу измерительной трубки подводится атмосферное давление, в этом положении производится установка прибора на нуль шкалы.

Мерная колба предназначается для определения объема жидкости, вытекающей из газометра за время τ, определяемое секундомером.

4. Порядок выполнения работы

4.1. Ознакомьтесь со всеми приборами, используемыми в работе и описанными в описании. Выпишите в тетрадь данные о длине капилляра L, радиусе капилляра R, температуре комнаты, барометрическом давлении pатм.

93

4.2.Если газометр не заполнен водой до верхнего уровня (следите за уровнем жидкости по водомерной трубке), попросите лаборанта лаборатории заполнить газометр водой.

4.3.Присоедините микроманометр к тройнику через штуцер (-) и установите микроманометр по уровням. Поставьте измерительную трубку микроманометра на указанный преподавателем коэффициент k наклона. Проверьте установку прибора на ноль шкалы.

4.4.Плавно открывая кран газометра (рис.4), подберите такую скорость истечения воды, чтобы перепад давления на концах капилляра был в пределах верхней половины шкалы.

4.5.После получения стационарности в истечении воды (показания микроманометра не изменяются) с помощью мерной колбы объемом V секундомером определяется

τ- время истечения заданного объема воды из газометра. Данные опыта занесите в таблицу 1.

Таблица 1 - Результаты измерений расхода воды и перепада давления на концах капилляра

ратм= …		Па,	R =… м,		L =… м,			t =…	0С
№							3	τ, с	3
	k	nн, дел		nк, дел	<n>, дел	V, м			q, м /с
1.
2.
3.

4.6. Если в процессе проведения эксперимента 4.5. заметно изменяются показания манометра, запишите показания микроманометра в начале (nн) и в конце (nк) опыта. Опыт повторите 3-4 раза.

93