Отрицательные числа в компьютере

Компьютеру приходится иметь дело не только с положительными, но и с отрицательными числами. Они могут находиться и среди исходных данных задачи, и получаться в процессе ее решения. Для запоминания знака числа в его двоичном представлении выделяется самый старший разряд ячейки памяти (байта, слова или двоичного слова).

Разработчики первых ЭВМ со знаком числа распорядились просто: для положительных чисел в знаковый разряд записывается нуль, а для отрицательных – единицу. Такой способ представления двоичных чисел получил название прямого кода:

0

00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

– число +3

Однако он оказался не очень удачным, т. к. такие простые и часто используемые операции, как сложение/вычитание, машине иногда приходилось выполнять в два этапа. Это ведь человек видит, какое слагаемое больше по абсолютной величине, когда ему приходится вычитать 7 из 2. А машина «сообразит» об этом только после неудачной попытки произвести заем из несуществующих разрядов. После этого она произведет обратное вычитание (2 из 7) и сменит у результата знак. И такие два действия вместо одного машине приходилось делать ровно в 25% всевозможных сочетаний знаков и абсолютных величин слагаемых.

В поисках более эффективных решений сначала был предложен обратный код для хранения отрицательных чисел, в котором все разряды числа заменялись на противоположные:

1

00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

число -3

В обратном коде придумывались хитроумные способы сложения, в которых знаковый разряд принимал участие в операции таким же образом, как и все остальные. Однако возникавший при этом перенос из знакового разряда добавлялся к младшему разряду суммы.

Наконец, был придуман дополнительный код, который получался из обратного кода отрицательного числа путем прибавления к нему единицы в младший разряд:

1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0	число -3 обратный код
1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1	число -3 дополнительный код

Примеры:

Число	Двоичный код	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
23	10111	00010111	00010111	00010111
-1	-1	10000001	11111110	11111111
-17	-10001	10010001	11101110	11101111
-70	-1000110	11000110	10111001	10111010

Свое название дополнительный код получил из-за того, что сумма k-разрядного положительного двоичного числа + N со своей отрицательной парой –N дает . В этом нетрудно убедиться. Сложите двоичное положительное число+ N с двоичным эквивалентом –N в обратном коде. В каждом разряде суммы получится 1, т. к. соответствующие разряды чисел + N и –N всегда противоположны. А теперь добавьте к двоичному коду из k единиц недостающую единицу в младший разряд, то получится .

Таким образом, в дополнительном коде числа + N и –N дополняют друг друга до соответствующей степени двойки.

Операция сложения в дополнительном коде всегда выполняется за один такт. При этом знаковые разряды складываются, как и все остальные, а перенос из них игнорируется.

Как видите, игра стоит свеч. Только за счет выбора хитроумного кода удалось на 25% повысить выполнения арифметических операций, не вложив практически никаких затрат в аппаратуру.

Контрольные вопросы:

1. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?

2. Каковы способы перевода чисел из одной системы счисления в другую?

3. В чем заключается преимущество использования восьмеричной и шестнадца­теричной систем счисления в вычислительной технике?

4. Выполнить перевод из одной системы счисления в другую:

735₈ = ?₁₀ ; 11011,011₂ = ?₁₀ ; 347₁₀ = ?₂ ; 23,48₁₆ = ?₁₀ ; 35₈ = ?₁₀ ;

351,343₁₀ =?₂ ; 101001011₂=?₁₆ ;1011100011₂=?₈ ; 0,45₁₀=?₂ ; 5F₁₆=?₈