20. Опишите частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей.

Пусть скорости и любых двух точек А и В параллельны друг другу и при этом линия АВ не перпендикулярна к , а следовательно, и к . Из теоремы о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, следует, что: , но , поэтому = и, следовательно, =. Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны и по модулю, и по направлению. Такое состояние плоской фигуры называется мгновенно поступательным. Так как перпендикуляры, восстановленные из точек А и В к скоростям этих точек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае в данный момент мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в этот момент равна нулю.

Пусть скорости и точек А и В параллельны друг другу и эти точки лежат на одном перпендикуляре к данным скоростям. В этом случае при мгновенный центр скоростей Р определяется построениями.

В этом случае для нахождения мгновенного центра скоростей Р нужно, кроме направлений, знать еще и модули скоростей и .

В практических задачах часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура катится без скольжения по некоторой неподвижной кривой MN.

В этом случае скорость точки касания контура плоской фигуры с кривой MN равна нулю, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости, а кривая MN неподвижна. Отсюда следует, что точка касания Р является мгновенным центром скоростей плоской фигуры.

20. Докажите формулу распределения ускорений точек плоской фигуры.

Пусть плоская фигура (S) движется относительно неподвижной системы координат Оху. В этой системе положения полюса А и произвольной точки В определяются соответственно радиус-векторами и .

Скорость произвольной точки В можно определить с помощью формулы распределения скоростей

(1), где радиус-вектор, проведенный из полюса А в точку В. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим: (1).

Здесь , , т.е. соответственно равны ускорениям полюса А и точки В. Производная есть вектор углового ускорения фигуры, направленный (как и ) перпендикулярно к плоскости фигуры. Кроме того, согласно формуле дифференцирования вектора, постоянного по модулю: , тогда:

Учитывая, что и , получим: .

В результате равенство (1) окончательно можно записать так: .

Введём обозначения: и (2).

Векторы и представляют те касательное и нормальное ускорения, которые имела бы точка В, если бы фигура (S) совершала только вращение вокруг полюса А. Пользуясь правилом составления векторного произведения, легко убедиться, что имеет направление, совпадающее с вектором (от точки к полюсу), а = перпендикулярно .

Модули этих векторов определяются так: , .

Используя обозначения (2), окончательно находим формулу распределения ускорений:

, или , где .

Таким образом, ускорение любой точки В плоской фигуры в каждый данный момент равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения произвольного полюса А и ускорения точки В в её вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса.