- •Связь между координатным и векторным способом:
- •Докажите формулу распределения скоростей точек плоской фигуры.
- •Сформулируйте и докажите теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки.
- •Опишите, как определяется скорость точек плоской фигуры и её угловая скорость с помощью мгновенного центра скоростей.
- •Опишите частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей.
- •Докажите формулу распределения ускорений точек плоской фигуры.
- •Дайте определения мгновенного центра ускорений. Как определить его положение? Как определяются ускорения точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.
- •Докажите формулу для определения скоростей точек тела, движущегося около неподвижной точки.
- •Доказать формулу распределения ускорений точек твердого тела, движущегося около неподвижной точки. Формулы вращательного и осестремительного ускорений и их направления.
- •Дайте определения сложного движения точки и основных понятий этого движения.
- •Сформулируйте и докажите теорему о сложении скоростей в сложном движении точки.
- •Сформулируйте и докажите теорему о сложении ускорений в сложном движении точки.
- •Дайте вывод формулы ускорения Кориолиса и проведите анализ этой формулы.
- •Дайте определения пары вращений. Докажите какому движению эквивалентна пара вращений.
- •Сложение вращений твёрдого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторону.
- •Сложение вращений твёрдого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторону.
-
Дайте определения мгновенного центра ускорений. Как определить его положение? Как определяются ускорения точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.
При непоступательном движении плоской фигуры в её плоскости, на фигуре (или на вязанной с ней подвижной плоскостью) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений.
Если известно ускорение какой-либо точки А плоской фигуры, а также её угловая скорость и угловое ускорение. Тогда положение мгновенного центра ускорений определяется следующим образом:
1. Находим значение угла из формулы: .
2. Из точки А, ускорение которой известно, под углом к вектору проводим полупрямую AN, которая должна быть отклонена от на угол в сторону вращения фигуры, если вращение ускоренное, и против вращения, если оно является замедленным, то есть в строну направления углового ускорения , показанного на рисунку дуговой стрелкой.
3. На полученной полупрямой AN отложим отрезок . Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений.
Если точку Q выбрать за полюс, то, поскольку , ускорение любой точки М плоской фигуры, согласно формуле , будет равно ускорению точки М во вращательном движении этой точки вокруг мгновенного центра ускорений, то есть: . Модуль ускорения точки М будет равен . Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение было вращательным вокруг мгновенного центра ускорений. При этом выполняются следующие условия: .
-
Докажите формулу для определения скоростей точек тела, движущегося около неподвижной точки.
Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Свяжем с телом систему координат Oxyz. Эта система однозначно определяет положение рассматриваемого тела относительно неподвижной системы координат . Положение произвольной точки М тела определяется радиус-вектором . Если x,y,z - координаты точки М в подвижной системе координат, а - единичные векторы этой системы, то радиус-вектор может быть представлен так: (1).
В формуле (1) координаты х, у, и z постоянны, а векторы являются функциями времени, так как система координат Oxyz движется вместе с телом. Учитывая, что: продифференцируем по времени формулу (1), тогда: (2).
Найдем теперь проекции скорости точки М на оси х, у и z, для чего умножим обе части равенства (2) скалярно на :
, , (3)
Так как векторы взаимно перпендикулярны, между ними существует следующие шесть зависимостей: , , , , , .
Дифференцируя эти равенства по времени, найдем две группы формул:
, , , , (4)
В результате формулы (3) с учетом (4) можно записать так:
, , (5)
Если обозначить: , , (6) и ввести в рассмотрение такой вектор:
, то равенства (5) с учетом (6) можно переписать так:
, , (7)
Рассмотрим теперь такое векторное произведение:
Проекции этого векторного произведения равны, согласно формулам (7), проекциям вектора скорости, следовательно: (8). Введенный нами вектор направлен вдоль прямой, проходящей через начало координат, в каждой точке которой скорости точек тела в данный момент равны нулю, т.е. вдоль мгновенной оси вращения. Это следует из того, что геометрическое место точек, скорость которых равна нулю, определяется уравнением , что является условием коллинеарности этих векторов.
Таким образом, скорости точек тела, имеющего одну неподвижную точку, распределяются так, как если бы тело вращалось вокруг неподвижной оси, совпадающей в данный момент с мгновенной осью вращения. Назовем вектор вектором мгновенной угловой скорости. Модуль скорости точки М определяется равенством
где h - кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси вращения. Вектор перпендикулярен плоскости, проходящей через точку М и мгновенную ось ОР в сторону поворота тела.