Теплоемкость кристаллов по Дебаю

Дебай предложил рассматривать совокупность атомов кристалла как упругую среду, ограниченную размером кристалла, в которой коллективные колебания атомов представляются суперпозицией собственных типов колебаний такой среды. Очевидно, что коллективные колебания выражены тем сильнее, чем ниже температура, а при достаточно больших Т атомы можно считать колеблющимися независимо, так что для высоких температур выводы теории Дебая должны совпадать с эйнштейновскими. Задача о нахождении внутренней энергии упругих колебаний решается в рамках модели Дебая подобно задаче о нахождении объемной плотности излучения абсолютно черного тела. Необходимо определить число типов колебаний в кристалле, приходящихся на единичный спектральный диапазон упругих колебаний. Затем, умножив это число на среднюю энергию осциллятора при температуре Т, определить спектральную плотность энергии упругих колебаний. Проинтегрировав эту величину по всем частотам, которые могут существовать в кристалле данных размеров, можно определить внутреннюю энергию кристалла

, (1.99)

(1.100)

где -температура Дебая.

Дифференцируя Е по Т, получим

, (1.101)

т.е. теплоемкость при низких температурах в одноатомном кристалле изменяется пропорционально Т ³.

При высоких температурах () теплоемкость будет равна

. (1.102)

Понятие о фононах.

Согласно корпускулярно – волновому дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы.

Фонон есть квант энергии звуковой волны (так как упругие волны – волны звуковые). Фононы являются квазичастицами – элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам.

Энергия фонона

. (1.103)

Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при столкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке – он при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононого газа, подчиняющегося статистике Бозе – Эйнштейна, так как фононы являются бозонами (их спин равен нулю).

Распределение Бозе-Эйнштейна

, (1.104)

где <n_i> - среднее число фононов частоты ω_i.

§1.7 Ядерная физика

Общая характеристика атомного ядра

Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточена практически вся масса атома и его положительный электрический заряд.

Ядро атома состоит из положительно заряженных протонов их число равно (Z) и не имеющих электрического заряда нейтронов (N). Заряд протона по абсолютной величине равен заряду электрона. Протон и нейтрон являются двумя зарядовыми состояниями ядерной частицы, которая называется нуклоном. Массовым числом ядра (А) называется общее число нуклонов в ядре

A=Z+N. (1.105)

Для обозначения ядра применяются символы ,,,

где Х – символ химического элемента; Z – зарядовое число ядра, соответствующее порядковому номеру химического элемента в таблице Менделеева и определяющее число протонов в ядре, и число электронов в атомной оболочке; А - массовое число.

Ядра с одинаковыми Z, но разными А (т.е. с разными числами нейтронов) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z – изобарами.

Масса покоя протона m_p=1,672 ∙10^-27 кг=1,00728 а.е.м.

Масса покоя нейтрона m_n=1,675 ∙10^-27 кг=1,00866 а.е.м.

1 а.е.м. (атомная единица массы) равна 1/12 массы изотопа С¹².

1 а.е.м. = 1,660056 ∙10^-27 кг

Энергия связи атомных ядер. Дефект массы.

Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная той работе, которую нужно совершить для удаления данного нуклона из ядра без сообщения ему кинетической энергии.

Энергия связи атомного ядра (отрицательная по знаку) по абсолютной величине равна работе, которую надо совершить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны без сообщения им кинетической энергии. Энергия связи атомного ядра является разностью между энергией протонов и нейтронов в ядре и их энергией в свободном состоянии. Из закона сохранения энергии следует, что при образовании ядра из составляющих его нуклонов должна выделяться энергия, равная - энергии связи в ядре.

Мерой энергии связи атомного ядра является дефект массы. Дефектом массы - называется разность между суммарной массой всех нуклонов ядра в свободном состоянии и массой ядра m_я

(1.106)

Так как в справочных таблицах обычно даются массы нейтральных атомов m_а, а не ядер, то формулу для расчета дефекта массы ядра удобнее использовать в виде

(1.107)

где m_H – масса изотопа водорода ;m_a – масса атома.

Если - энергия связи ядра, выделяющаяся при его образовании, то соответствующая ей массахарактеризует уменьшение суммарной массы всех нуклонов при образовании ядра. Следовательно,

, (1.108)

где с – скорость света.

с²=9 ∙10¹⁶ Дж/кг=931 МэВ/а.е.м.

1 а.е.м. = 1,66 ∙10^-27∙9 ∙10¹⁶ Дж=931 МэВ

Важной характеристикой ядра является удельная энергия связи , равная средней энергии связи, приходящейся на один нуклон

. (1.109)

Радиоактивность

Радиоактивностью называется превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотопы другого элемента, сопровождающееся испусканием некоторых частиц. Радиоактивность подразделяется на естественную и искусственную.

Естественной радиоактивностью называется радиоактивность, наблюдающаяся у существующих в природе неустойчивых изотопов.

Искусственной радиоактивностью называется радиоактивность изотопов, полученных в результате ядерных реакций.

Закон радиоактивного распада.

Под радиоактивным распадом, или просто распадом, понимают естественное радиоактивное превращение ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским, возникающее ядро – дочерним.

Самопроизвольный распад атомных ядер подчиняется закону радиоактивного распада: число нераспавшихся ядер N убывает по экспоненциальному закону

, (1.110)

где  – постоянная радиоактивного распада (имеющая смысл вероятности распада ядра за одну секунду и равная доле ядер, распадающихся за единицу времени), е – основание натуральных логарифмов, N – число нераспавшихся атомов в момент времени t, N₀ – число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (t = 0).

Закон самопроизвольного радиоактивного распада основывается на двух предположениях:

1. постоянная распада не зависит от внешних условий;

2. число ядер, распадающихся за время dt, пропорционально наличному количеству ядер.

Характеристикой устойчивости ядер относительно распада является период полураспада Т_1/2 – время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшается вдвое. Связь λ и Т_1/2

. (1.111)

Среднее время жизни радиоактивного ядра

. (1.112)