ВЫШМАТ

.

2.3.3 Случай кратных корней

Для пояснения термина “кратные корни” рассмотрим полином второго порядка x2 - 4x + 4 = 0.

Тогда

, (x -2)2 = x2 - 4x + 4.

В примере полином имеет два кратных корня. В общем случае число кратных корней

может быть K( ), где n - порядок дифференциального уравнения (порядок полинома).

Теперь изучим, как наличие кратных корней связано с построением ФСР для уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть - кратный корень характеристического уравнения. Тогда

(2.8)

То есть производные от по при до (K-1) порядка равны нулю. Продифференцируем m раз по тождество

и получим

(2.9)

Напомним, что L - дифференциальный оператор, определяющий конкретный вид уравнения.

В (2.9) производная порядка v от характеристического полинома по переменной . Тогда на основании (2.8):

Отсюда функции

(2.10)

являются решениями уравнения (2.6). Они линейно независимы (их вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала по x) и составляют фундаментальную систему

из Kрешений.

Пример 1. Построим общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение и его корни равны:

, , K = 3.

Тогда ФСР запишется следующим образом:

а общее решение

.

Пример 2. Построим общее решение уравнения

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

B данном примере мы имеем корни комплексные сопряжённые, кратные. Для построения ФСР воспользуемся общими правилами, с которыми уже знакомы: сопряжённые корни (

) не порождают новых, линейно независимых решений, а для K = 2.

Тогда ФСР будет

а общее решение

Структура общего решения

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).

Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяются из системы двух уравнений:

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1.

2.

где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

Вобоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

Вслучае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем

характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель xs, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.

Вслучае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида

то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

.	(37)

где Pm1(x) и Qm2(x) - многочлены степеней, соответственно, m1 и m2, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правилотаково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических

функциях число и пусть r - кратность числа s0 как корня характеристического уравнения, m= max(m1, m2). Тогда частное решение надо искать в

виде , где Rm(x) и Sm(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию yчн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов

многочленов Rm(x) и Sm(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции yчн(x).

Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.

I. Если f(x) = Pm(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде yчн(x)= Rm(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде yчн(x)= xr Rm(x), если число 0 - корень характеристического уравнения

кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать f(x) = Pm(x) в виде f(x) = e0 x [Pm(x)

cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s0 = 0 + 0i, m1 = m, m2 = 0, max(m1, m2) = m, поэтому yчн(x)= xr e0 x [Rm(x) cos 0x + Sm(x) sin 0x] = xr Rm(x) .