ВЫШМАТ
.pdfУравнения, не содержащие явно
независимую переменную
• Уравнения F(y, y , y ) 0, не содержащие явно
переменной x. |
. |
|
Замена y p(y) , где |
y dp y dp p |
|
|
dy |
dy |
понижает порядок уравнения
F(y, p, pdpdy) 0
10
Уравнения с однородной функцией
Однородные уравнения 2 порядка
• Уравнение |
|
|
|
0 |
называется однородным степени m, |
|
F(x, y, y , y ) |
|
|||
если функция |
F(x, y, y , y ) |
является однородной функцией |
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
степени m по переменным |
y, y1 , y2 , т.е. выполняется |
||||
равенство |
|
|
|
|
|
F(x,ty,ty1,ty2) tmF(x, y, y1, y2)
для любого t>0 .
11
Замена в однородном уравнении
•Замена
y yz,
y y z yz
yz2 yz y(z2 z )
• Приводит к уравнению
F(x, y, yz, y(z2 z )) 0 ymF(x,1,z,(z2 z )) 0 F(x,1,z,(z2 z )) 0
• первого порядка.
12
Примеры
• Пример 1.
y 1 (y )2 y z(x), y z
z 1 z2
13
• Разделим переменные
dxdz 1 z2
dz dx
1 z2
x C1 ln z 1 z2
14
• Далее, избавляясь от логарифма, имеем
z 1 z2 ex C1
1 z2 ex C1 z
1 z2 e2(x C1) 2zex C1 z2
15
• После упрощения получаем
1 e2(x C1) 2zex C1
z 12(ex C1 e (x C1)) sh(x C1)
y sh(x C1) Первый интеграл уравнения y ch(x C1) C2 Общее решение
16
Пример 2
• Найти общее решение уравнения
(y )2 2yy 0
17
• Пример 2. Решение.
( y )2 2yy 0 y p( y), y p p
p2 2yp p 0
p p2
2yp
18
dpdy 2py dpp 2dyy
ln |
|
p |
|
1 ln |
|
y |
|
lnC |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19