ВЫШМАТ
.pdfp C1
y
y C1 первый интеграл
y
20
y 0 dy C1 dx y
ydy C1dx y3/2 C1x C2
21
y 0 |
dy |
|
C1 |
|
|
dx |
|
|
|
||
|
y |
|
ydy C1dx
yd( y) C1dx
( y)3/2 C1x C2
22
Пример 3
• Решить уравнение
xyy xy 2 yy
23
Линейные дифференциальные |
уравнения порядка n |
Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
24
Предварительные сведения
•Линейным дифференциальным уравнением (л.д.у.)порядка n называется дифференциальное уравнение порядка n, имеющее следующий вид:
(n) |
(n 1) |
|
an(x)y f (x), (1) |
y |
a1(x)y |
... an 1(x)y |
где функции a1(x),...,an 1(x), an(x), f (x)
определены на некотором интервале (a, b).
25
Предварительные сведения
•Если правая часть уравнения (1) ( f (x) 0, x (a,b)), тождественно равна нулю на рассматриваемом
промежутке (a, b), то уравнение называется линейным однородным д.у., в противном случае -линейным неоднородным д.у.порядка n.
26
Теорема существования и единственности линейного дифференциального уравнения порядка n.
• Если коэффициенты |
a (x),...,a (x), a (x) |
и правая |
|||
|
|
1 |
n 1 |
n |
|
часть f (x) линейного диф.уравнения (1) непрерывны |
|||||
на интервале |
(a, b), |
|
то для любой точки x0 (a, b) |
||
и любых чисел |
y ,..., y |
существует y y(x), |
|||
|
|
0 |
n 1 |
|
|
единственное решение задачи Коши, определённое |
|||||
также на интервале |
(a, b), |
удовлетворяющее |
|||
начальным условиям |
|
|
|
|
|
y(x ) y , ..., y(n1) y . |
|
|
|||
0 |
0 |
|
n 1 |
|
|
•Вывод: Эффект «Blow up» для линейных
дифференциальных уравнений не имеет места !
27
Вопрос
•Как геометрически истолковать теорему
существования и единственности для линейного уравнения 2-го порядка?
29