§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы.

Определение 1.6.Прямые х=(а/ε), где ε — эксцентриситет эллипса (гиперболы) называются директрисами эллипса (гиперболы).

Так как для эллипса ε<1, а для гиперболы ε>1, то директрисы эллипса и гиперболы относительно этих кривых расположены соответственно следующим образом (рис.9).

Рис. 9.

16

Теорема 1.1.Отношение расстояния от любой точки эллипса

(гиперболы) до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).

Доказательство теоремы проведем для эллипса (рис.10), за-

данного уравнением (1.2). Пусть точка М(х,у) принадлежит эллипсу. Обозначим d₁— расстояние от точки М до директрисы х=(а/ε), d₂ — расстояние от точки М до директрисы x=—(а/ε).

Из (1.5) следует, что

MF₁=а+εх, МF₂=а—εs.

Так как

,

то

Для гиперболы доказатель-

ство проводится аналогично. Те-

орема доказана.

Заметим, что так как все точ-

ки параболы равноудалены от ди-

ректрисы и фокуса, то отноше-

ние этих расстояний равно1. Пo-

этому можно говорить об экс-

центриситете параболы и считать

его равным 1. Как уже отмеча-

лось, эксцентриситет окружности

равен нулю.

Рис.10.

17

§ 5. Фокальный параметр эллипса и гиперболы

Пусть эллипс и гипербола заданы соответственно своими кано-

ническими уравнениями вида (1.2) и (1.11). Проведем через один из фокусов этих кривых прямую перпендикулярную оси ОХ и обозначим точки ее пересечения с кривой через Р и Р'(рис.11).

Обозначим длину отрезка РР' через 2р. Тогда величина р(р>0)

называется фокальным параметром эллипса (гиперболы).Вычислим фокальный параметр этих кривых.

Из канонического уравнения эллипса следует, что у =

и так как х=с, то

• значение ординаты точки P(P').

Рис. 11.

Аналогичным образом для гиперболы получаем

и так как х=с, то— значение орди

наты точки P(P').

Итак, фокальный параметр р эллипса (гиперболы) равен

(1.14)

Вычислим теперь расстояние d между фокусом и директрисой

18

эллипса

Расстояние dмежду фокусом и директрисой гиперболы равно

Так как для параболы с = 1 и d= р, то делаем следующий

Вывод:для эллипса (кроме окружности), гиперболы, параболы

фокальный параметр р равен:

p=εd, (1.15)

где c — эксцентриситет, d — расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.

Заметим, что для окружности фокальный параметр равен ее

радиусу.

§ 6.Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Как уже отмечалось ранее, уравнение окружности с радиусом а

и с центром в полюсе полярной системы координат имеет вид r=а

Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу (рис.12). Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF =r— полярный радиус точки М, φ — ее полярный

19

угол. Тогда MF/МК = ε, где МК = MN + NK Так как MN =rсоsφ

NК = р/ε, то r/((р/ε)+rсозφ)=ε. Следовательно,

(1.16)

• полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы.

• 

Рис. 12. Рис. 13.

Для левой ветви гиперболы (рис.13) имеем MN = МК — KN, где

МК = rcos(180º-φ)=—rcosφ, NK = р/ε.

Так как MF/MN = r/MN = ε, то r/(—rcosφ-(p/ε)} = ε

Следовательно,

(1.17)

• полярное уравнение левой ветви гиперболы.