- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава I кривые второго порядка
- •§ 1. Парабола
- •§ 2. Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы.
- •§ 5. Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •§ 6.Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •§ 7. Классификация кривых второго порядка (квп)
- •§8.Свойства определителей второго и третьего порядков
- •§ 9. Общая теория кривых второго порядка
- •§ 10. Инварианты кривой второго порядка
- •Глава II поверхности второго порядка
- •§ 11. Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •§ 12. Цилиндрические поверхности
- •§ 13. Конические поверхности
- •§ 14. Поверхности вращения
- •§ 15. Эллипсоид
- •§16. Гиперболоид.
- •§ 17. Параболоид
- •Глава 1. Кривые второго порядка
- •Глава II. Поверхности второго порядка
- •Гомельский государствееный университет
§ 10. Инварианты кривой второго порядка
Инвариантом уравнения(1.27) относительно преобразования си-
стемы координат ОХУ называется такая функция
f(а11, а12,a22,a13, а23, а33),
которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11,...а33) = f(a'11...а'33).
Теорема 1.2.Величины
(1.32)
являются инвариантами уравнения (1.27) линии второго порядка
относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.
Инвариантность I1и I2следует из формул (1.28). Заметим, что из этих формул также следует, что
32
(1.33)
Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0и затем вторую
умноженную на у0. Тогда
Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0и второй,
умноженный на y0. Получим, чтоI'3=I3.
Рассмотрим теперь преобразов аде поворота
Разложим I'3по элементам 3-го столбца. Получим:
=
(1.34)
Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).
33
(1.35)
(1.36)
(1.37)
Следовательно, из (1.34) следует, что
(1.38)
Величины А, В, С, углы α, β и I2не зависят от угла φ.Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (1.38) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I'3=I3. Это и доказывает инвариантность I3.
Теорема доказана.
Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариан
тов I1,I2и I3.
Будем говорить, что
при I2>О, уравнение (1.27) задаетлинию эллиптическом типа;
при I2<О, уравнение (1.27) задаетлинии гиперболического типа;
при I2=О, уравнение (1.27) задаетлинии параболического типа.
При параллельном переносе можно попытаться добиться того,
чтобы в уравнении (1.29) отсутствовали члены 2а'13х' и 2а'23y'. Из формул (1.28) следует, что это возможно только в том случае, если система
(1.39)
34
имеет решение.
Уравнения (1.39) называются уравнениями центра линии второго
порядка.Если х0, у0— решение (1.39), то точка 0'(х0,у0) —центр линии. Если линия имеет центр, то в результате параллельного переноса начала системы координат в точку 0'(х0,у0) уравнение линии примет вид
(1.40)
Поэтому, если точка М(х',у') удовлетворяет уравнению (1.40), то и точка М'(—х',—у') также удовлетворяет уравнению (1.40). Таким образом центр линии является ее центром симметрии.
Заметим, что если кривая второго порядка имеет центр, то, в силу инвариантности I3, получаем
.
Значит,
(1.41)
Как было показано ранее, можно повернуть систему координат
ОXY таким образом, чтобы уравнение (1.29) не содержало члена
2а'12х'у'. Ясно, что в атом случае а'12=0 и из формул (1.30) следует, что
Следовательно, при а120
(1.42)
Именно при таком выборе угла поворота, уравнение (1.29) принимает вид:
(1.43)
35
Вывод: путем параллельного переноса приводим уравнение кривой к виду (1.40)
путем поворота, если а12О, приводим уравнение (1.40) к виду:
(1.43)
в системе координат О"Х"У".
Линии эллиптического и гиперболического типов
Если I2>О, то уравнение (1.43), согласно (1.41), можно записать так:
(1.44)
Так как
то а11а22>О, т.е. коэффициенты а11и а22оба отличны от нуля и
имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком I1=a11+а22. Будем
в дальнейшем считать, что I1>О, т.е. а11>0 и а22>0 (если это не так, то умножим обе части 1.44 на — 1). Заметим, что при такой операции (нормировании) знакI2не меняется.
Теорема 1.3.Пусть уравнение (1.27) КВП — эллиптического типа (I2>О) нормировано так, чтоI1>О. Тогда приI3<0— это уравнение эллипса. ПриI3=0 — единственная точка (уравнение вырожденного эллипса). ПриI3>0 — пустое множество точек (уравнение мнимого эллипса).
Доказательство. Так для уравнения (1.44), I1=а"11+а"22,
I2=а"11а22, то из условия I1>О, I2>0 следует, что а"11>О,
36
а"22>0. Поэтому уравнение (1.44) можно записать так:
, при I3<0; (1.45)
, при I3=0; (1.46)
, при I3>0; (1.47)
Теорема доказана.
2типа (I2<0). Тогда приI30 — это уравнение гиперболы, а при I3=0 пара пересекающихся прямых.
Доказательство. Так как для уравнения (1.44):
то из I2<0 следует а"11, и а"22имеют разные знаки. Пусть а"11>0 что а"22<О,. Тогда уравнение (1.44) можно записать так:
, при I3<0; (1.48)
, при I3=0; (1.49)
, при I3>0; (1.50)
Уравнение (1.48) задает гиперболу, симметричную относительно
оси О"Y".
37
Уравнение (1.49) можно переписать так:
— пара пересекающихся прямых в системе координат 0"Х"Y".
Уравнение (1.50) — каноническое уравнение гиперболы.
Случай, когда а11"<О, а22">0 рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
Линии параболического типа
Пусть КВП задана уравнением вида (1.27) и является кривой
параболического типа, т.е. I2=О. Тогда I1О. Действительно,
если I1=а11+a22=О, то I12=а112+а222+2a11a22=О, т.е.
(*)
Так как I2=a11a22—а122=О, то из (*) следует, что —(a112/2)—(а222/2)=а122.. Значит,a11=a22=a12=0 — противоречие с тем, что уравнение (1.27) — уравнение кривой второго порядка.
Заметим, что если в уравнении (1.27) а12О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (1.40)
Так как I1=а'11+а22О,I2=a'11а'22=О, то один из коэффициентовa'11 и а'22равен нулю, а другой не равен нулю.
Будем считать, что а'11=О, а'220 (случай а'11О, a'22=0
рассматривается аналогично). Тогда I1=a'22и уравнение (1.40)
можно записать так:
(1.51)
Осуществим теперь параллельный перенос:
, т.е.
38
. (1.52)
Тогда x"=x'и у"=у'+а'23/I1. Значит, в новой системе координат
О"Х"У" уравнение КВП примет вид:
(1.53)
где
Теорема 1.5.Пусть уравнение (1.27) — есть уравнение парабо-
лического тип. Тогда при I30 это уравнение параболы, а при I3=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.
Доказательство. Итак, для уравнения (1.27)
(1.54)
Так как I1О, то приI30 следует, что а"13О, а приI3=0 получаем, что а"13=О. Тогда уравнение (1.53) можно записать так
при I3О, (1.55)
при I3=О, (1.56)
Очевидно, что уравнение (1.55) — уравнение параболы. Чтобы
оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":
y"=Y;
и обозначить —а"13/I1=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение
У2= 2рХ.
39
Уравнение (1.56) можно записать так:
(1.57)
Тогда, если a"33/I1<0, то из (1.57) получаем
пара параллельных прямых: и
Если же а"33/I1>0, то уравнению (1.57) не удовлетворяют
координаты ни одной точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.
40