Открытые и замкнутые множества

Рассмотрим важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно, от­крытые и замкнутые множества.

Множество М, лежащее в метрическом пространстве R, на­зывается замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: [М] = М. Иначе говоря, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

В силу теоремы 1 замыкание любого множества М есть зам­кнутое множество. Из той же теоремы вытекает, что [М] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М.

Примеры. 1. Всякий отрезок [а, b] числовой прямой есть замкнутое множество.

2. Замкнутый шар представляет собой замкнутое множество. В частности, в пространстве С[а,b] множество функций f, удов­летворяющих условию ≤К, замкнуто.

3. Множество функций в С [а, b], удовлетворяющих условию (открытый шар), не замкнуто; его замыкание есть совокупность функций, удовлетворяющих условию .

4. Каково бы ни было метрическое пространство R, пустое множество Ø и все R замкнуты.

5. Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.

Основные свойства замкнутых множеств можно сформулиро­вать в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Пересечение любого числа и сумма любого ко­нечного числа замкнутых множеств суть замкнутые множества.

Доказательство. Пусть F = F_a ■— пересечение замкну­тых множеств F_a и пусть х — предельная точка для F. Это озна­чает, что любая ее окрестность О_в(х) содержит бесконечно мно­го точек из F. Но тогда тем более О_е (х) содержит бесконечно много точек из каждого F_a и, следовательно, так как все F_a замкнуты, точка х принадлежит каждому F_a; таким образом, xF = F_a, т. е. F замкнуто.

Пусть теперь F — сумма конечного числа замкнутых множеств: F = и пусть точка х не принадлежит F. Покажем, что х не может быть предельной для F. Действительно, х не принадлежит ни одному из замкнутых множеств F_i, следова­тельно, не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого i можно найти такую окрестность точки х, которая содержит не более чем конечное число точек из F_i. Взяв из окрестностей , ..., наименьшую, мы по­лучим окрестность точки х, содержащую не более чем конечное число точек из F.

Итак, если точка х не принадлежит F, то она не может быть предельной для F, т. е. F замкнуто. Теорема доказана.

Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность этой точки, целиком содержа­щаяся в М.

Множество, все точки которого внутренние, называется от­крытым.

Примеры. 6. Интервал (а, b) числовой прямой R¹ есть от­крытое множество; действительно, если а < α < b, то О_е(а), где ε = min(α - а, b — α), целиком содержится в интервале (а, b).

7. Открытый шар В (а, r) в любом метрическом простран­стве R есть открытое множество. Действительно, если х B(a,r), то (a,x)<r. Положим ε = r — (a,x)Тогда В(х, B(x,ε) содержит B(a,r).

8. Множество непрерывных функций на [a, b], удовлетворяю­щих условию f(t)<g(t), где g(t)—некоторая фиксированная непрерывная функция, представляет собой открытое подмноже­ство пространства С [а, b].

Теорема 4. Для того чтобы множество М было открыто необходимо и достаточно, чтобы его дополнение R\M до всего пространства R было замкнуто.

Доказательство. Если М открыто, то каждая точка х из М имеет окрестность, целиком принадлежащую М, т. е. не имеющую ни одной общей точки с R\M. Таким образом, ни одна из точек, не принадлежащих R \ М, не может быть точкой прикосновения для R \ М, т. е. R \ М замкнуто. Обратно, если R \ М замкнуто, то любая точка из М имеет окрестность, цели­ком лежащую в М, т. е. М открыто.

Так как пустое множество и все R замкнуты и в то же время служат дополнениями друг друга, то пустое множество и все R открыты.

Из теоремы 3 и из принципа двойственности (пересечение дополнений равно дополнению суммы, сумма дополнений равна дополнению пересечения, см. стр. 15) вытекает следующая важ­ная теорема, двойственная теореме 3.

Теорема 3'. Сумма любого (конечного или бесконечного) числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.

Множества, принадлежащие ϭ-алгебре, порожденной всеми открытыми и замкнутыми подмножествами пространства R, на­зываются борелевскими множествами.