Определение групп и полугрупп

В основе всех понятий, изучаемых в различных разделах алгебры, лежит понятие алгебраической операции.

Ограничимся определением бинарной операции, которую назовем умножением и будем для нее употреблять обычную мультипликативную запись. Говорят, что на множестве G задана бинарная алгебраическая операция, если для любой упорядоченной пары элементов a,b∈G однозначно определено произведение a⋅b∈G. Всякое непустое множество G, в котором задана алгебраическая операция этого типа, называется группоидом.

Более узким понятием является полугруппа — это группоид, в котором выполняется закон ассоциативности, т.е. для любых элементов a,b,c∈G верно (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c). Свойство ассоциативности придает однозначный смысл произведению a⋅b⋅c любых трех элементов полугруппы. Отсюда следует, что и произведение a1,a2,…,an∈G любых n элементов, взятых в указанном порядке, также будет однозначно определенным элементом полугруппы.

Еще более узким является понятие группы, одно из самых важных алгебраических понятий.

Определение группы

Опеределение. Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией ০ (будем называть умножением) такой, что выполняются следующие аксиомы:

1. ∀ a,b ∈G ∃ c∈G a⋅b=c — замкнутость операции ∘.

2. ∀ a,b,c∈G a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c — ассоциативность операции ∘.

3. ∃!e∈G ∀a∈G e⋅a=a⋅e=a — существование единичного элемента e.

4. ∀ a∈G ∃! a−1∈G a⋅a−1=a−1⋅a=e — существование обратного элемента a−1.

Определение. Группа называется коммутативной, если выполняется аксиома коммутативности:

5. ∀a,b∈G a⋅b=b⋅a — коммутативность операции ∘.

Примеры групп

1. G1={ n | n∈Z } – группа с операцией сложения чисел, где Z – множество целых чисел. Действительно, 0 – единица группы; n−1=(−n) – обратный элемент к n∈G1.

2. G2={ 2n | n∈Z } – группа с операцией сложения чисел.

3. G3={ 2n | n∈Z } – группа с операцией умножения чисел.

4. G4 – множество квадратных матриц порядка n, определитель которых не равен нулю, является группой с операцией умножения матриц.

5. G5 – множество ортогональных матриц порядка n является группой с операцией умножения матриц.

6. G6={ −1, 1 } – группа с операцией умножения чисел.

7. G7 = Q – множество рациональных чисел является абелевой группой относительно операций сложения и умножения (без нуля). Это поле F=<Q,+,⋅> рациональных чисел.

Замечание.

Непустое множество F с двумя бинарными алгебраическими операциями +, ∘ (сложение и умножение) называется полем, если выполняются условия:

1) F – абелева группа по сложению (аддитивная группа);

2) F0={ x∈F | x≠0 } – абелева группа по умножению (мультипликативная группа), где 0 – единица группы по сложению;

3) операции +, ∘ связаны законами дистрибутивновсти:

∀ x,y,z∈F x(y+z)=xy+xz и (y+z)x=yx+zx.

8. G8 = R – множество вещественных чисел является абелевой группой относительно операций сложения и умножения (без нуля). Это поле F=<R,+,⋅> вещественных чисел.

9. G9 = {0,1} – абелева группа с операцией (⊕) сложения чисел по модулю 2. G9 без нуля {1} – абелева группа по умножению. Значит F=<{0,1},⊕,⋅> является полем (конечным).

10. G10 = M множество квадратных матриц порядка n является кольцом. G1 кольцо целых чисел.

Замечание.

Непустое множество M с двумя бинарными алгебраическими операциями +, ∘ (сложение и умножение) называется кольцом K=, если выполняются условия:

1) M – абелева группа по сложению (аддитивная группа);

2) M – группоид по умножению;

3) операции +, ∘ связаны законами дистрибутивности:

∀x,y,z ∈ M x(y+z)=xy+xz и (y+z)x=yx+zx.

11. G11=Sm — множество подстановок (перестановок) является группой с операцией умножения подстановок (симметрическая группа Sm, см. п.8.7.).

Определение. H ⊆ G называется подгруппой группы G, если H — группа относительно бинарной операции, определенной в G, т.е. для элементов H выполняются аксиомы 1—4. Так, например, являются подгруппами: G2 ⊂ G1, G5 ⊂ G4, G7 ⊂ G8.

Утверждение 8.1.1. Пусть M — подмножество группы G и ∀a,b ∈ M выполняется ab-1 ∈ M. Показать, что M — подгруппа. Данное условие можно рассматривать как характеристическое свойство группы.

Доказательство. Проверим выполнение аксиом группы.

1. Существование единичного элемента. Пусть a ∈ M, тогда

aa-1 ∈ M или e ∈ M.

2. Существование обратного элемента. Пусть a ∈ M и так как

e ∈ M, то ea-1 ∈ M или a-1 ∈ M.

3. Замкнутость. Пусть a,b ∈ M, тогда и b-1 ∈ M. Значит, и a(b-1)-1 ∈ M или ab ∈ M.