10 Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m системных уравнений с n неизвестными с x₁, x₂,…., x_n называется система вида , где a_ik, - числа.

Числа a_ik (i=1,2,…m) (k=1,2,…n) – коэффициенты.

Числа (i=1,2,…n) – свободные члены.

Решением линейной системы называется упорядоченная совокупность из n чисел c₁, c₂,… c_n, постановка которых вместо x₁, x₂, … x_n обращает в тождество каждое и уравнений этой системы.

11 Решение систем линейных уравнений с помощью определителей

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, … x_n

Определителем системы называется определитель матрицы A, состоящей из коэффициентов уравнений этой системы. Обозначим его .

Обозначим через k определитель, полученный заменой в определителе столбца из коэффициента при неизвестнойx_k , столбцом свободных членов системы

k= ,k – одно и чисел 1,2,…n

ТЕОРЕМА

Если определитель системы отличен от 0, то система имеет единственное решение

x₁=,x₂=,x_n=

Метод решения системы по правилам, описанным в Теореме называется методом Крамера.

17 Непрерывность ф-ии на промежутке

Ф-ия наз. непрер. на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если ф-ия определена при х=а и при этом , то говорят что f(x) в точке непрерывна справа. Аналогично если , то говорят, что в точкеа эта ф-ия непрерывна слева.

Ф-ия наз. непрер. на отрезке [а;b], если она непрер. в каждой его точке. Наибольшим значением ф-ии у=f(х) на отрезке [a;b] наз. такое его значение f(x₁), что f(x) f(x₁) для всех х.

Наим. значение ф-ии у=f(х) на отрезке [а;b] наз. такое её знач. f(x₂), что f(x₁)f(x₂) для всех х.

Ф-ии непрер. на отрезке обладают рядом важных св-в в кот. выраж-ся след. теоремами:

Т1 ф-ия непрер. на отрезке [а;b] достигает на нём своего нимен. значения m и наиб. значения М₁, т.е. сущ. такие точки х₁ и х₂ этого отрезка, что f(х₁)=m, f(х₂)=M. Теорема имеет простой геом. смысл

Т2 если ф-ия у=f(х) непрер. на отрезке [а;b] и на его концах принимает неравное значение f(a)=A, f(b)=B, AB, то какого бы ни было число С заключ-ое между такими А и В, найд-ся точка с, такая, ятоf(с)=С

Сл. Если ф-ия непрер. на отр.и на его концах принимает значение разных знаков, то на этом отр. найд-ся хотя бы одна точка , в кот. ф-ия превращ-ся в 0.

18

Понятие производной, её геом. и физич. смысл

Рассм. ф-ию у=f(х) заданную на интервале (a;b), пусть х₀ (a;b) и х (a;b), тогда преращение ф-ии в точке х₀ выраж-ся формулой ₀ +₀ ), ₀ +- преращение ф-ии.

Производной ф-ии у=f(х) в точке ₀ наз. предел отношения приращения этой ф-ии к приращению аргумента, когда последнее стрем-ся к 0. f` (x<sub>0</sub>)=или у`(х₀) =

Геом. смысл: произв-я от данной ф-ии в точке равной tg угла между осью О_х и касат-ой к графику этой ф-ии в соотв-ей точке. .

Уравн. касат-ой у=f(х) в точке М₀( х₀;у₀)имеет вид у-у₀=f`(x₀)(x-x₀)

Физич. Смысл: произв-я от пути по времени равна скорости прямолин-го движения точки, т.е. x`(t₀)=

Ф-ия имеющая произв-ую в данной точке наз. дифференцируемой в данной точке. Ф-ия имеющая произв-ую в данной точке данного промеж. наз. диф. в этом промежутке.

Зависимость между непрер. и диф-тью ф-ии выраж-ся след. теоремой:

Т: если ф-ия у=f(х) диф. в данной точке, то она непрерывна в этой точке.

Док-во: пусть ф-ия у=f(х) диф. в х₀, т.е. сущ. предел у`( х₀)=, т.к., то=>. Т доказана.