3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 9. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

у' + Р(х)у = Q(x), (5.4)

где Р(х) и Q(x) – заданные функции переменной х.

Если Q(x)  0, то уравнение (5.4) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

у = ,

С− произвольная постоянная.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа), который состоит в том, что решение уравнения (5.4) записывается в виде

у = ,

где С(х) – новая неизвестная функция переменной х.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

у' + 2ху = 2х.

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Рассмотрим однородное уравнение у' + 2ху = 0, соответствующее данному неоднородному. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение, используя алгоритм, рассмотренный в §3.

+ 2ху = 0   dх

dу + 2 х у dх = 0

.

Разделим переменные, поделив последнее уравнение на у,

+ 2х dх = 0.

В результате почленного интегрирования получим

;

ln|у| + х² + ln|С₁| = 0, или ln|уС₁| = х².

После потенцирования имеем у = С,.

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

у = С(х),

где С(х) – неизвестная функция переменной х.

Подставим данное выражение для у в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

+ 2х С(х)= 2 х.

После дифференцирования и несложных преобразований получим дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции С(х):

.

Откуда после интегрирования имеем С(х) = х² + C.

Итак, общее решение неоднородного уравнения будет

у = (х²+C),

где C – постоянная интегрирования.

Существует другой метод (метод Бернулли) решения дифференциального уравнения (5.4), согласно которому нахождение его общего решения сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными с помощью подстановки

у = u∙ v, (5.5)

где u и v – неизвестные функции от х.

Дифференцируя (4.5), находим

y^ʹ = (uv)^ʹ = u^ʹv + uv^ʹ . (5.6)

Подставив значения у и у' в уравнение (5.4), получим

vu^ʹ + uv^ʹ + P(x)uv = Q(x)

или v(u^ʹ + P(x)u) + uv^ʹ = Q(x). (5.7)

Так как искомая функция у подстановкой (5.5) представлена в виде произведения двух неизвестных функций u и v, то одну из них, например, u мы можем выбрать по нашему усмотрению, кроме u = 0. Выберем u так, чтобы

u^ʹ + P(x)u = 0 (5.8)

Решая это уравнение как уравнение с разделяющимися переменными, найдем функцию u = u(x). Найденную функцию подставим в уравнение (5.7).

u(x)v^ʹ=Q(x). (5.9)

Это уравнение с разделяющимися переменными, решая которое находим функцию v = v(x; C), содержащую произвольную постоянную C и являющуюся общим решением уравнения (5.9). Заменив в равенстве (5.5) у = uv функции u и v найденными значениями, получим общее решение исходного дифференциального уравнения

у = u(x) v(x; C).

Частное решение находим, используя начальные условия.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

х (х – 1) у' + у = х²(2х – 1), у(2) = 4.

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, в результате деления обеих его частей на x (х – 1) (х  0; х  1) оно преобразуется к виду уравнения (5.4).

у' + . (4.10)

Найдем общее решение преобразованного дифференциального уравнения с помощью подстановки у = u v. При этом у' = u' v + u v'.

Подставляя у и у' в уравнение (4.10), получим

u' v + u v' + ,

или v . (5.11)

Поскольку неизвестная функция у представлена в виде произведения

двух: u и v, то одну из них, например, u можно выбрать по нашему усмотре-

нию. Выберем u так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т. е.

. (5.12)

Тогда уравнение (5.11) примет вид

. (5.13)

Решаем уравнение (5.12) как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

,

.

Раскладывая дробь в правой части последнего уравнения ,

после интегрирования получим одно из его частных решений

,

или . (5.14)

Подставив найденную функцию u(x) в уравнение (5.13), придем к дифференциальному уравнению относительно функции v.

,

,

интегрируя которое, получим

v(x; C) = х² – х + C. (5.15)

Заменив в подстановке у = u v функции u и v их выражениями из равенств (5.14) и (5.15), получим искомое общее решение данного дифференциального уравнения

(х² – х + С).

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию

у = 4 при х = 2.

4 = (4 2 + С), т. е. С = 0.

Следовательно, искомым частным решением является функция

у = х².

Решить дифференциальные уравнения:

39.	ху'  у = х	40.	у' + у = e^^х
41.	ху' + у = sin x	42.	y' + x^2y = x^2
43.	y' = x + y	44.	xy' + y = 3
45.	xy' + y = e^х	46.	y' + y = cos x
47.	x^2y'  2xy = 3	48.	y' - y ctg x = ctg x
49.	y'  = x	50.	(x + 1) y'  2y = (x + 1)^4
51.	xy' + x = ln x + 1	52.	y' cos x – y sin x = sin 2x
53.	(1+ x^2)y'  2xy = (1 + x^2)^2	54.	xy'  xy = (1 + x^2) e^х
55.	y' +	56.	y' 

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

57.	ху' + у = 3,	у(1) = 0
58.	(1 + х^2) у'  ху = 2х,	у(0) = 0
59.	ху'  3у = х^4e^х,	у(1) = e
60.	у' sin x – y cos x = 1,	у= 0
61.	у' cos x – y sin x = 2x,	у(0) = 0
62.	ху' + у = х + 1,	у(2) = 3
63.	ху'  2у = х^3e^х	у(1) = 0
64.	у'  у tg x = ,	у(0) = 0
65.	х^3у' + 3х^2у = 2,	у(1) = 1
66.	у'	у(0) = 0
67.	у' - ,	у(0) = 1
68.	у'  = хln x,	у(e) =