§ 3. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнения второго порядка в общем случае записывается в виде

F(x; у; у'; у'') = 0. (5.16)

Для этих уравнений остается справедливым определение общего решения (интеграла), с той лишь разницей, что теперь оно будет содержать две произвольные постоянные:

у = (х; C₁; C₂) – общее решение;

Ф(х; у; C₁; C₂) = 0 – общий интеграл.

Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка формулируется следующим образом: найти решение у = у(х) уравнения (5.16), удовлетворяющее начальным условиям

или

где  заданные числа.

1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Эти уравнения имеют вид

у'' = f(x), (5.17)

где f(x) – заданная функция.

Данные уравнения решаются путем двукратного интегрирования. Понизим порядок уравнения, полагая у' = z , тогда у'' = z' и уравнение (5.17) принимает вид z' = f(x) или f(x), откуда dz = f(x) dx. После интегрирования обеих частей получим

z = ,

где F(х) – одна из первообразных для функции f(x);

C₁ – постоянная интегрирования.

Так как z = y', то

у' = F(x) + C₁, или dу = F(x) dx + C₁ dx.

Отсюда, интегрируя еще раз, получим общее решение уравнения (5.17)

y = G(x) + C₁x + C₂ .

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

у'' = e^2х, если у(0) = 0; у'(0) = 0.

Решение. Положим у' = z , тогда у'' = z' и, следовательно,

z' = e^2х, или .

Умножая обе части этого уравнения на dх, после интегрирования получим:

,

.

Осуществляя обратную замену: z = y', имеем у' = .

Разделим переменные и проинтегрируем второй раз, тогда получим общее решение исходного уравнения

у = .

Для решения задачи Коши воспользуемся начальными условиями:

у = 0 при х = 0 и у' = 0 при х = 0.

Поставляя эти значения в выражения для у и у', получим два уравнения относительно неизвестных C₁ и C₂.

откуда

Искомое частное решение уравнения имеет вид

у = .

Найти общие решения уравнений:

69.	у'' = 3 – 2х	70.	у'' =
71.	у'' = 12х^2 + 6х + 2	72.	х^2у'' = 2
73.	у'' = sin x + cos x	74.	y'' = ln x
75.	y'' =	76.	y'' = 2 sin x cos^2 x

Найти частные решения уравнений:

77. у'' = sin 3x, если

78. (х – 1 ) у'' = 1, если у(2) = 0, у'(2) = 0

79. cos² x y'' = 1, если у(0) = 0, у'

80. у'' = хe^х, если у(0) = 1, у'(0) = 0

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 1. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

у'' + ру' + qy = 0, (5.18)

где р и q – постоянные.

Определение 2. Линейной комбинацией функций у₁(х) и у₂(х) с коэффициентами C₁ и C₂ называется выражение вида

C₁ у₁(х) + C₂ у₂(х).

Определение 3. Если линейная комбинация C₁ у₁(х) + C₂у₂(х) равна нулю, только когда коэффициенты C₁ и C₂ равны нулю, то функции у₁(х) и у₂(х) называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми.

Общее решение уравнения (5.18) можно найти по его известным частным решениям у₁(х) и у₂(х).

Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения). Если у₁(х) и у₂(х) – линейно независимые частные решения уравнения (5.18), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т. е. имеет вид

у = С₁ у₁(х) + С₂ у₂(х),

где С₁ и С₂ – действительные числа.

Итак, для нахождения общего решения уравнения (5.18) достаточно найти два его линейно независимых частных решения. Будем искать эти частные решения в виде у = е^kх, где k = const; тогда у' = kе^kх, у'' = k²е^kх. Подставляя эти выражения в уравнение (5.18), получим

е^kх(k² + рk + q) = 0.

Так как е^kх  0, то

k² + рk + q = 0. (5.19)

Это уравнение называется характеристическим уравнением исходного дифференциального уравнения (5.18).

Решая характеристическое уравнение (5.19), найдем его корни k₁ и k₂, а, следовательно, и частные решения уравнения (5.18):

у₁(х) = ; у₂(х) = .

Общее решение дифференциального уравнения (5.18) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения. Справедлива теорема.

Теорема 2.

1. Пусть характеристическое уравнение (5.19) дифференциального уравнения (5.18) имеет различные действительные корни k₁ и k₂ (дискриминант D > 0). Тогда общее решение уравнения (5.18) имеет вид

у = C₁ +C₂ . (5.20)

2. Если характеристическое уравнение (5.19) имеет действительные равные корни k₁ = k₂ = k (D = 0), то общее решение уравнения (5.18) имеет вид

у = .(5.21)

3. Если характеристическое уравнение (5.19) имеет комплексные корни k₁ = а + ib и k₂ = а – ib (D < 0), здесь i =  мнимая единица, а, b  0 – действительные числа, то общее решение уравнения (5.18) имеет вид

у = e^ах (C₁ cos bx + C₂ sin bx), (5.22)

где .

Здесь C₁ и C₂ – произвольные постоянные.

Пример 1. Найти частные решения следующих уравнений:

1. у''  3у' + 2у = 0, у(0) = 3, у'(0) = 4.

2. у''  2у' + у = 0, у(0) = 1, у'(0) = 0.

3. у''  4у' + 13у = 0, у(0) = 1, у'(0) = 8.

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение

k² – 3k + 2 = 0,

откуда его корни k₁ = 1, k₂ = 2 (D > 0). Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

у = C₁ e^х + C₂ e^2х.

Дифференцируя общее решение, получим:

у' = C₁ e^х + 2 C₂ e^2х.

Согласно заданным начальным условиям имеем

откуда C₁ = 2, C₂ = 1. Таким образом, искомым частным решением является функция

у = 2 e^х + e^{2х .}

2. Характеристическое уравнение

k² – 2k + 1 = 0

имеет при D = 0 действительные и равные корни k₁ = k₂ = k = 1. Тогда согласно п. 2 Теоремы 2 общее решение дифференциального уравнения имеет вид

у = e^х (C₁ + C₂ х).

Так как у = 1 при х = 0, то C₁ = 1 и поскольку у' = e^х (C₁ + C₂х) + C₂e^х и у' = 0 при х = 0, то C₂ = 1. Таким образом, частное решение запишется в виде

у = (1 – х) e^х.

3. Составляем характеристическое уравнение k² – 4k + 13 = 0 и при D < 0 находим его корни: k₁ = 2 + 3i и k₂ = 2 – 3i. Здесь а = 2, b = 3, поэтому согласно п.3 Теоремы 2 общим решением является функция

у = e^2х(C₁ cos 3x + C₂ sin 3x).

Учитывая, что у(0) = 1, получим C₁ = 1.

Продифференцируем общее решение

у' = 2у  3e^2х(C₁ sin 3x – C₂ cos 3x)

и учтем, что у'(0) = 8. Тогда получим C₂ = 2. Таким образом, приходим к частному решению

у = e^2х(cos 3x + 2 sin 3x).

Найти решения уравнений

81.	у''  5у' + 4у = 0	82.	у''  2у' + 2у = 0
83.	у''  4у' + 3у = 0	84.	у''  4у = 0
85.	у'' + 4 у' = 0	86.	у'' + 3у' + 2у = 0
87.	у''  6у' + 9у = 0	88.	у''  4у' + 4у = 0
89.	у'' + 2ау' + а^2у = 0	90.	у''  3у' = 0
91.	у''  2у' + 2у = 0	92.	у'' + у = 0
93.	у''  6у' +45у = 0	94.	у'' + 4у' + 8у = 0

Найти частные решения уравнений

95. у'' + 5у' + 6у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 6

96. у''  9у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 6

97. у''  у'  2у = 0, если у(0) = 3, у'(0) = 0

98. у'' + 3у' + 2у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 3

99. у''  10у' + 25у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 8

100. у'' + 6у' + 9у = 0, если у(0) = 2, у'(0) = 1

101. у'' + 2у' + 5у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 1

102. у''  2у' + 2у = 0, если у(0) = 1, у'(0) = 3

103. у''  2у' + 10у = 0, если у= 0, у'=

104. 9у'' + у = 0, если у= 2, у'= 0

105. у'' + у = 0, если у'(0) = 1, у'= 0

106. у'' + 9у = 0, если у(0) = 0, у'= 1