1. Нормальное распределение.

Большинство экспериментальных исследований, связанных с измерениями, в том числе и в психологии, способных принимать практически любые значения в заданном интервале (что зависит от величины выборки) описываются моделью случайных непрерывных величин и соответственно – непрерывном распределении.

Одним из непрерывных распределений, имеющим основополагающую роль в математической статистике является нормальное (или Гауссово) распределение. Нормальное распределение является самым важным в статистике, что объясняется рядом причин:

1. Многие экспериментальные наблюдения можно успешно описать с помощью близкого к нормальному распределению.

2. Большинство распределений, связанных со случайной выборкой, при увеличение объёма последней переходят к нормальному распределению.

3. Нормальное распределение обладает рядом благоприятных математических свойств, во многом обеспечивающих его широкое применение в статистике:

   1. Имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки M=X,cточками перегиба, абсциссы которых отстоят отMна +.

   2. Для нормального распределения математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение генеральной совокупности равно (сигма).

   3. нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: математическим ожиданием (средним) и стандартным отклонением.

   4. мода, медиана и среднее арифметическое нормального распределения совпадают и равны математическому ожиданию M.

Исходя из того, что нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами Mи(сигма), то при измерении этих параметров можно получить целое семейство нормальных кривых. Чтобы избежать неудобств, связанных с расчётами для каждого конкретного случая, в психологии используют так называемоенормированное(или чаще стандартное)нормальное распределение, которое и применяется для стандартизации шкал (психометрических линеек).

Нормированное нормальное распределение, имея параметры M= 0 и= 1, имеет колоколообразную форму.

Особенностью данной кривой является то, что площадь под кривой имеет постоянное значение (как показано на рисунке 1). Эта особенность является основной для стандартной интерпретации в эмпирических исследованиях с целью постановки психологического диагноза: так при изучении проявления, какого – либо признака, при попадании индивидуального результата в диапазон составляет 68,2% от всех случаев (т.е. у 68,2% испытуемых генеральной совокупности, степень проявления изучаемого признака будет находиться именно в этом диапазоне), что может оцениваться как среднее проявление изучаемого признака и интерпретироваться какнорма, в проявлении признака.

Рис.1. Процентное распределение случаев под нормальной кривой.

2. Стандартизированные шкалы.

Показатели психометрических тестов, применяемых в практической психологии с целью постановки психологического диагноза, переводятся из первичных ("сырых" – не подвергнутых обработке) и полученных испытуемым по данному тесту в стандартные показатели, которые рассчитываются на основе линейного или нелинейного преобразования первичных показателей (при условии их распределения близкого к нормальному закону). При этом исторически сложилось наличие ряда наиболее распространённых стандартных показателей, связанных с особенностямипреобразования, и отсюда – наличие "семейства" стандартных шкал, переводимых друг в друга и несводимых кZ-шкале.

Z-шкала образуется в результате центрирования, понимаемого как линейная трансформация величин признака, при которой средняя величина распределения становится равная нулю, и процедуры нормирования посредством среднеквадратических отклонений.

Z-шкала состоит из непрерывного континуумаZ-показателей, определяемых в виде разности между индивидуальными первичными результатами и средним значением для генеральной совокупности, делённые на стандартное отклонение распределения.

где X– необработанные, сырые баллы,

– Среднее,

 – стандартное отклонение.

При этом полученная Z-шкала будет иметь среднюю точкуM=0 и единицу измерения (масштаб) 1стандартного (единичного) нормального распределения как показано на рисунке 2.

Z-показатель может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Большинство случаев (99,72%) значения показателей уменьшаются в пределах -3<M>+3 и могут принимать любые значения. К достоинствамZ-показателя относится простота интерпретации и сравнения индивидуальных результатов: чем больше показатель, тем дальше от среднего (нормы) он может находиться, при этом знак указывает (+) – выше среднего; (-) – ниже среднего. Но недостатки, особенно в области прикладной (практической) психологии, к которым относят: сложность интерпретации для испытуемого (клиента), крупность масштаба единиц измерения, оперирование отрицательными и положительными величинами, побудили разработчиков тестов использовать нормализованные преобразования по форме:, гдеZp– преобразованный стандартный показатель;b– стандартное отклонение преобразованного распределения;Z–Z-показатель;A– среднее значение преобразованного распределения. Такой переход правомерен, так как стандартная шкала представляет собой интервальную шкалу, что позволяет выполнить линейные преобразования, при условии, что константыbиA– действительные числа.

Разберём процедуру получения преобразованных стандартных показателей на ряде примеров:

Было проведено эмпирическое исследование уровня уверенности в себе (опросник Рейзаса – 0-90) на выборке учителей (50 человек) из различных школ г. Н. Новгорода. В результате первичной статистической обработки были получены результаты:

1. Распределение первичных результатов ("сырых баллов") по форме близко к нормальному распределению (после процедур группировки и анализа кривой распределения – полигона частот).

2. Вычислены характеристики для данной выборки –

Предлагается провести линейное преобразование и определить для различных шкал значение одного первичного результата X=45 ("сырой балл" одного из испытуемых).

1. Преобразование в Z-показательпроизводится по формуле:

где Z– стандартныйZ-показатель;

X– первичный результат тестового измерения;

M_x– средняя величина результатов выборки (в нашем случае медианаMe);

S_x– стандартное отклонение для данной выборки. Найдите полученный показатель наZ-шкале (рисунок 2) и сделайте вывод о проявлении изучаемого признака у данного испытуемого.

2. Преобразование в T-шкалудля опросников Мак-Колла производится по уже известной формуле (Zp=A+bZ), подставляя вместо константA=M = 50;b== 10 – полученные Мак-Коллом в результате нормализации эмпирических распределений собственных опросников, переведём результат испытуемого (X=45) в стандартныеT-баллы по формуле:

Таким образом, результат – 25 T-баллов (стандартных баллов).

3. Преобразование в шкалу станайновГилфорда (англ.standardnine– стандартная девятка), где оценкам присваивают целые значения от 1 до 9, приM = 5, = 2 производятся по формуле:

В данном случае результат испытуемого будет 1 станайн (т.к. полученный результат C = 0 попал в интервал 1-го станайна).

Данная C-шкала обладает таким замечательным свойством (см. рисунок 2), что в 1 и 9 станайны попадает по 4% испытуемых всей выборки, во 2 и 8 станайны – по 7%, и т.д. Таким образом, при ранжированном упорядочивании в сторону возрастания первичных тестовых результатов и условии их нормального (или близкому к нормальному) распределения первым 4% данных присваивается 1 станайн, последующим 7% данных – 2-ой станайн, следующим 12% данных – 3-й станайн и т.д., таким образом, данные будут упорядочены в шкалу, соответствующую стандартным частотам распределения результата.

4. Преобразование в шкалу стеновКэттела (от англ.standardten– стандартная десятка) для опросника 16PF, где оценкам присваивают целые значения от 1 до 10, приM = 5;= 2 производят по формуле:

В данном случае результат испытуемого попадает в интервал 1-го стена.

В тестировании интеллекта используются нормализованные шкалы:

5. Шкала ВекслерапредставленнаяIQ-стандартными баллами:

6. Шкала структуры интеллекта Амтхауэрапо формуле:

С целью интерпретации данных для работников образования представляет интерес шкала Линерта:

7. Шкалашкольных оценок Линерта:

Рис.2. Нормальная кривая и стандартные показатели.