2003_-_Gmurman__TV_i_MS

3 а м	е ч а н и е. Пользуясь	формулой (*),	можно доказать, что
линейная	функция У = АХ + В	нормально распределеннuго аргумен­
та Х таКЖе распределена нормально, причем			для того чтобы найти

математическое ожидание У, надо в выражение фующии подставить В\1есто аргумента Х его математическое ожидание а:

М (У)= Аа+В;

для того чтобы найти среднее квадраТИ'lеское отклоиение У, надо

среднее квадратическое отклонение а pгyMeНl а Х умножить на модуль коэффициента при Х:

(J (У) = I А I (J (Х).

Пример 4. Найти ПЛОIНОСТЬ распределения линейноА функции У =3Х +), если аргумент распределен нормально, причем математи­

ческое ожидание Х равно 2 и средиее квадратическое отклонение

равно 0,5.

Реш е н и е. Найдем математическое ожидание У:

м (У) =3.2+ 1 =7.

Найдем среднее квадратическое отклонение У:

(J (У)=3·0,5= 1,5

Искомая плотность распределения имеет вид

( )	I	е-(у-7)'/[2.(1,5.-]
gУ=I,5У2л		'

§ 11, Математическое ожидание функции одного

случайного аргумента

Задана ф)нкция У = <р (Х) случайного аргумента

Х. Требуется найти l\Iатематическое ожидание этой функ­

ции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент Х-дискретная случай­

н а я		в е л и ч и н а с возможными значениями Хр Х2, • •• , х",
вероятности			которых соотвеТСlвенно равны Pl' Р2• ••• , Р".
Очевидно,			}'-также дискретная	случайная			величина
с	возможными значениями Уl = <р (Х1),				У2 =	qJ (Х2),	.•• , у" =
=	qJ	(х,,). Так как событие «величина			Х	приняла значе­
ние		Х,» влечет за собой событие		«величина У			приняла

значение ер (xj )>>, то вероятности возможных значений У со­

ответственно равны Pl' Р2' ... , р". Следовательно, мате­

матическое ожидание функции

м [qJ (Х)] = ~" ер (xj ) р,.

i= I

Пример 1. Дискретная СJlучайюlЯ величина Х задана распределением

Х	)	3	5
Р	0,2	0,5	0,3

141

Найти математическое ожидание фуикции У =ер (Х) = Х2 + 1.

Реш е в н е. Найдем возможные значения У:

ер (1) = ) 2 + I = 2; ер (3) = 31 + J = JO; ер (5) =51+ 1=26.

Искомое математическое ожидание функпии У равно

М [Xz+ 1]=2.0,2+ 10.0,5+26.0,3= 13,2.

2. П у с т ь а р г у м е н т Х - н е п р еры в н а я с л у­

чай н а я в е л и ч и н а, заданная плотностью распределе­

ния f (х). Для отыскания математического ожидания функции У = q> (Х) можно сначала найти плотность рас­ пределения g (у) величины У, а затем воспользоваться

формулой

ао

М (У) = ~ yg(y)dy.

-ао

Однако если отыскание функции g (у) является затруд­

нительным, то можно непосредственно найти математиче­

ское ожидание функции q> (Х) по формуле

ао

М [ч> (Х)] = ~ q> (х)! (х)dx.

-ао

в частности, если возможные значения Х принадлежат

интервалу (а, Ь), то

ь

М [ч> (Х)] = ~ <р (х)f (х)dx.

а

Опуская доказательство, заметим, что оно аналогично доказательству формулы (*), если заменить суммирова­

ние интегрированием, а вероятность--элементом вероят­

ности f (х) i1x.

Пример 2. Непрерывная		случа.".ная величина Х задана				плот­
ностью распределения f (х) =		sin х	в интервале	(О, 'Л./2);	вне этого
интервала f (х) = О.	Найти	математическое		ожидание	функции
у =q> (Х)=Х2•						f (х) =
Реш е н и е. Воспользуемся формулой (:J<*).				По условию,
= sin х, q> (х) = х2 ,	а = О, Ь = 'Л./2.		Следовательно,
		31/2
	М [q> (Х)]= ~		х! siп xdx.

о

Интегрируя по частям, получим искомое математическое ожидание М [Х']='Л.-2.

142

§ 12. Функция двух случайных аргументов.

Распределение суммы независимых слагаемых.

Устойчивость нормального распределения

Если каждой паре возможных значений случай­

ных величин Х и У соответствует одно возможное зна­

чение случайной величины Z, то Z называют функцuей

двух случайных аргументов Х и У:

Z = ер (Х, У).

Далее на примерах будет показано, как найти рас­ пределение функции Z = Х + У по известным распреде­ лениям слагаемых. Такая задача часто встречается на

практике. Например, если Х - погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), У­

погрешность округления показаний до ближайшего деле­

ния шкалы (распределена равномерно), то возникает

задача - найти закон распределения суммы погрешностей

Z=X+Y.

1. Пусть Х и У-дискретные независимые

с л у чай н ы е в е л и ч и н ы.		Для	того чтобы составить
закон распределения	функции Z =		Х + У, надо найти все
вс!3можные значения	Z и их	вероятности.

Лример 1. Дискретные незавнснмые случайные величины заданы

распред~лениями:

Х I 2

р 0,4 0,6

У

р

3 4

0,2 0,8

Составить распределение случайной величины Z=X+Y.

Реш е н и е. Возможные значения Z есть суммы каждого возмож­

ного зна'Iения Х со всеми возможными "Iначениями У:

г1= 1+3=4; г2= I +4=5; zз=2+3=-5; г4=2+4=6.

Найдем вероятности этих возможных значениrI. Для того чтобы

Z=4, ДОС1аточно, чтобы величина Х приняла значение Хl= I И величина У - значение У1 = 3. Вероятности этих возможных значе­

ний, как следует из данных законов распределения, соответственно

равны 0,4 и 0,2.

Аргументы Х и У независимы, поэтому события Х = 1 и У = 3

независимы и, следовательно,	вероятность	их	совместного наступле­
ния (т. е. вероятность события	Z = I +3 =	4)	по теореме умноження
равна 0,4·0,2 = 0,08.

Аналогично найдем:

Р(Z= I +4=5) =0,4.0,8=0,32;

Р(Z = 2+ 3=5) =0.6.0,2 = 0,12;

Р(Z=2+4=6) =0,6.0,8=0,48.

143

Напишем нскомое распределение, сложив предварительно вероят­ ности несовместныХ событиil Z=Z2, Z=zs (0,32+0,12=0,44):

Z

4

5

6

Р0,08 0,44 0,48

Контроль: 0,08+0,44+0,48=1.

2. Пусть	Х и У-непрерывные случайные
в е л и ч и н ы.	доказано:	если	Х и У независимы, то
Плотность распределения		g(z)	суммы Z = Х + У (при

условии, что плотность хотя бы одиого из аргументов

задана на интервале ( - 00, 00) одной формулой) может

быть найдена с помощью равенства

aJ

g(z)= ~ fl(X)f.(z-х)dх

либо с помощью равносильного равенства

C<J

g (z) = ~,1 (z-y),. (у)dy,

где '1' f2-плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны,

то g(z) находят по формуле

:г

g (z) = ~' . (х)'. (г-х)dx,

о

либо по равносильной формуле

:г

g(z)= ~,. (Z-y)f2 (y)dy.

О

Плотность распределения суммы независимых случай­

ных величин назьшают композицией.

Закон распределения вероятностей называют устой­

чивым, если композиция таких законов есть тот же закон

(отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормаль­

Ный закон обладает свойством устойчивости: композиция

нормальных законов также имеет нормальное распреде­

ление (математическое ожидание и дисперсия этой ком­

позиции равны соответственно суммам математических

ожиданий н дисперсий слагаемых). Например, если Х и

У - независимые случайные величины, распределенные

нормально с математическими ожиданиями и диспер-

144

енями, соответственно		равными а. = 3, а, = 4, D	1	= 1,
D 2 = 0,5, то	композиция	этих величин (т. е. плотность
вероятности	суммы Z = Х + У) также распределена			нор­

мально, 'причем математическое ожидание и дисперсия

композиции соответственно равны а = 3 + 4 = 7; D = 1 +

+0,5 = 1,5.

Пример 2. Независимые случайные величины Х И У За.ЦанЫ

плотностями распределеиий:

Нх)= ~ е- х/з	(Оs;;;;; х <
f(y)={-e- 1J14	(O~y <

(0);

(0).

Найти композицию ЭТИХ законов, Т. е. плотность распределения слу­

чайной величины Z=X +У.

Реш е н и е. Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой (***)

2			2	1[1 е-(2-Х)/.] dx=
g(z)= ~ '1 (x)f2 (z-x)dx= ~ (+е-%/3
	2
	= I~ е-2/. ~ е-Х/12 dx= е- 2/ . (1 _				е-2/12).
Заметим, что	здесь z ~ О, так		как Z = Х +у		и,	по УСЛОВИЮ,	воз­
можные значения Х и У неотрицате.~ьны.
Рекомендуем читателю для			контроля убедиться,			что
		00
		~ g (z) dz = 1.
		о
В следующих далее		пара графах		кратко описаны			рас­
пределения,	связанные	с	нормальным, которые будут

использованы при изложении математической статистики.

§ 13. Распределение «хн квадрат»

Пусть Хj (i = 1, 2, ... , n) - нормальные незави­

симые случайные величины, причем математическое ожи­

дание каждой из них равно нулю, а среднее квадрати­

ческое отклонение-единице. Тогда сумма квадратов

этих величин

102730

145

распределена по закону ?е (<<хи квадрат») с k = n степе­

нями свободы; если же эти величины связаны одним ли-

нейным	соотношением,	например ~ Хj =	nХ, то число
степеней	свободы k = n -	1.
ГIлотность этого распределения
		при	x~O,
		при	х > О,

""

где Г (х) = StX - 1 е-! dt-гамма-функция; в частности,

о

г(n+l)=n!.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» опре­ деляется одним параметром-числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение

медленно приближается к нормальному.

§ 14. Распределение Стьюдента

Пусть z- нормальная случайная величина, причем

M(Z)=O, u(Z)=l, а V-независимая от Z величина,

которая распределена по закону ?е с k степенями сво­

боды. Тогда величина

т = z

YV/k

имеет распределение, которое называют t-распределением

или распределением Стьюдента (псевдоним английского

Сlатистика В. Госсета), с k степенями свободы.

Итак, отношение нормированной нормальной величины

к квадратному корню из независимой случайной вели­

чины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степе­

нями свободы, деленной на k, распределено по закону

Стьюдента с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение

Стьюдента быстро приближается к нормальному. Допол­

нительные сведения об этом распределении приведены

далее (см. гл. XVI, § 16).

146

§ 15. Распределение F Фишера - Снедекора

Если и и V - независимые случайные величины, распределенные по закону х· со степенями свободы k1 И k.,

то величина

имеет распределение, которое называют распределением F

Фишера-Снедекора со степенями свободы k 1 и k. (иногда его обозначают через У2).

Плотность этого распределения

Опри x~O,

x<k.- 2)/2

СО (k2 +k.x)(k t +k.)/. при х> О,

где

Мы видим, что распределен ие F определяется двумя пара­

метрами - числами степеней свободы. Дополнительные

сведения об ЭТОМ распределении приведены далее (см.

гл. XIX, § 8).

Задачи

1. Найти математическое ожидаиие и дисперсию случайной величины Х, зная ее плотность распределения:

	а)	f (х)		r I	при - 1	< х < 1,	f (х) =0 при остальных
			n	у l-х2
	Значениях х;
	6)	{(х)=	I	при a-l<.;xe;;;a+l, [(х)=О при остальных зна-
			21

чениях х.

Оmв. а) М(Х)=О, D(X)=1/2; б) М(Х)=а, D(Х)=12;з.

2. Случайная' величина Х распределена нормально. Математи­

ческое ОЖНданне и среднее квадратнческое отклонение этой величины

соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в резуль­

тате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (4,8).

Оmв. 0,6826.

3. Случайная величина распределена нормально. Среднее квад­

ратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонениt' случайной величнны от ее математического ОЖИ­ дания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

Оmв. 0,5468.

10·

147

4. Случайные ошибки измерения подчинены иормальному закону со средним квадратически~] отклонением а = 1 мм и математическим

ожиданием а = О. Найти вероятность того, что ИЗ двух независимых иаблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсо­ лютной величине 1,28 мм.

Отв. 0,96.

5. Валики, I!1Г()TOH'nfle~JbJe автоматом, считаются стандартными,

если ОТклонение диаметра валика		от проектного	ра1мера не превы­
шает 2 мм. с.'l)'ча!lные отклонения		диаметра валиков		подчиняются
нормальному закону со средннм квадратичеСКIIМ отклонением (J = 1,6 мм
и ма1ематическим ожиданием	а=О. Сколько процентов			стандартиых
валиков изготовляет автомат?
Оmв. Примерно 79%.
6. Днскретная СЛУ'lайная	величина Х задана		законом раСllреде­

ления:

а) Х 1 2 3

р 0,2 0,1 0,7

б) Х -1 1 2

р 0,1 0,2 0,7

Найти закон расп ределения случайной веЛИЧIIНЫ У = Х".

Ото. а) У

Р

1	16	81
0,2	0,1	0,7

б) У

Р

1	16
0,3	0,7

7. Непрерывная случаt"lная величина Х задана плотностью рас­

пределения f (х). Найти дифференциальную функцию g (у) случайной

величины У, если:

а) У = Х -t 1 ( - 00 < х < 00); б) 1-' = 2Х ( - а < х < а).

Оmв. а) g (у) =! (y-l) (- 00 < у < 00);

б) g (у) = ; f ( ~ ) (- 2а < у < 2а).

8. Независимые дискретные случайные величины заданы следую-

щими законами распределени я:

Х

р

2	3	5
0,3	0,5	0,2

У	1	4
Р	0,2	0,8

Найти заКl ны	rаспределеНIIЯ функци й:				а) Z=X+Y; б) Z=XY.
Оmв. а) Z	:)	4	6	7	9
р	0,06	0,10	0,28	0,40	0,16
б) Z	2	3	5	8	12	20
р	0,06	0,10	0,04	0,24	0,40	0,16

9. Независимые случайные величины Х н У заданы пло. юстями

распределеНIIЙ

- 1	-х/з	(О<х
f1 (х) -уе
1	-У/5	(О<у
f2 (Х) -se

<

<

(0);

00).

Найти композицию этих законов, т. е. плотноСтЬ распределения случайной величины Z = Х + У.

-21 е-z/ь (1 -	е-и/н) при	z ~ О;
Отв. g (г) = { О	при	z < О.

148

Глава тринадцатая

ПОКА3АТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

§ 1. Определение показательного распределении

Покаэаmельным (экспоненциальным) называют

распределение вероятностей непрерывной случайной вели­ чины Х. которое описывается пл<?тностью

	f (х) =	{	Опри		х < О,
			'Ie-"x	при	---- О	,
			1\,		Х с;::::::-
где л - постоянная положительная величина.
Мы	видим, что	показательное			распределение			опреде­
ляется	о Д н и м параметром			л. Эта особенность				показа­
тельного распределения указывает					на его		преимущество
	((Х)
				1 --------			-

о

Рис. 12

по сравнению с распределениями, зависящими от боль­

шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны

и приходится находить их оценки (приближенные Значе­

ния); разумеется, проще оценить один параметр, чем два

или три и Т. д. Примером непрерывной случайной вели­

чины, распределенной по показательному закону, может

служить время м е ж Д у появлениями двух последователь­

ных событий простейшего потока (см. § 5).

Найдем функцию распределения показательного закона

(см. гл. XI, § 3):

Х	О		х
F (х) = ~ f (х) dx =	~ Odx + л ~ е-ЛХdx = l_е-Лх •
-С<>	-ао		О
Иlак,	О			х < О,
F (х)= {			при
	l-е-	лХ	при	x~ о.

149

Мы определили показательный закон с помощью плот­

ности распределения; ясно, что его можно определить,

используя функцию распределения.

Графики плотности и функции распределения показа­ тельного закона изображены на рис. 12.

Пример. Написать плотность и Фуикцию распределения показа­ тельного закоиа, если параметр 1..=8.

Реш е н и е. Очевидно, искомая плотиость распределения

'(х)=8е-ВХ при x~O; '(х)=О прн х < О.

Искомая функция распределення

F(x)=l-e- Sx при x~O; Р(х)=О при х < О.

§ 2. 8ероитность попадания в заданный

интервал показательно распределенной

случайной величины

Найдем вероятность попадания в интервал (а, Ь)

непрерывной случайной величины Х, которая распреде­ лена по показательному закону, заданному функцией

распределения

Р(х)= l-е-Лх(х~О).

Используем формулу (см. гл. Х, § 2, следствие 1)

р (а < Х < Ь) = F (ь)-р (а).

Учитывая, что Р(а)=1-е-М, F(b)=l-e-A.Ь, получим

р (а < Х < Ь) =е-ла __ е-ЛЬ.

Значения функции е-Х находят по таблице.

Пример. Непрерывиая случайная величина Х распределена по

показательному закону

'(х)=2е-2Х при x~O; {(х)=О при х < о.

Найтн вероятность того, что в результате испытания Х попадает

в интервал (0,3, 1).

Реш е н и е. По условию, Л=2. Воспользуемся формулой (*):

р (0,3 < х < 1)=e-(2.0'3)_e-(2.1)=e- O,6 _ e - 2=

~0,54881-0,13534 ~ 0,41.

J50