2003_-_Gmurman__TV_i_MS

n
(см. § 2) ~ Р (Xj,	У/)= Р (Yj)' то
l= 1
n	n
~ p(XjIYj)= ~ Р(Х{, Yj)/P(Yj)=P (У/)/Р (Yj) = 1.
i= 1	{= 1

Аналогнчно доказывается, что прн фнксированиом Х;

т

~ p(Y/lx;)=l.

1= 1

Эго свойство условных распределеиий используют д,.Ilя контроля вы­

числеииА.

Пример. Дискретная двумерная CJlучайная величииа задана табл.

Таблица

4.

4

х

у			I
	Х.	Ха		Ха
Уl	0,10	0,30		0,20
У2	0,06	0,18		0,16

Найти условный закон распределения составляющей Х при ус­

ловии, что составляющая У приняла значение Yl'

Реш е н и е. Искомый закон определяется совокупностью сле­

дующих условных вероятностей:

	Р (Xl I Уд, Р (Xzl YJ,				Р (Ха I Уl)'
Воспользовавшись		формулой		(:;.)	и	прнняв	во	внимаиие, что
Р (Yl) =	0,60 (см. § 2, пример),		имеем:
	Р (xIIYl)=P (Xl,		Yl)/P (У1) =0,10/0,60 =				1/6;
	Р (Ха IyJ = Р (Х2,		Yl)/P (Уl) = 0,30/0,60 = 1/2;
	Р (Ха IYl) =	Р (Ха,	Yl)/P (Yl) = 0,20/0,60 = 1/3.
Сложив для контроля найденные					условные вероятиости, убедим­
ся, что	их сумма равна	единице,		как	и	должно быть,		в соответствии

с замечанием, помещениым выше: 1/6+ 1/2+ 1/3= 1.

§ 14. Условные законы распределения

состаВJIЯЮЩИХ системы непрерывных

случайных величин

Пусть {Х. У)-непрерывная двумерная случай­

ная величина.

Условной плотностью <:Р (х Iу) распределения состав­

ляющих Х при данном значении У = у называют ОТНО-

171

шение плотности совместного распределения f (х,					у) си­
стемы (Х, У) к	плотности	распределения		f 2 (у)	состав­
ляющей У:
	ep(xly)=f(x, Y)lf2(y)·				(*)
Подчеркнем,	что отличие	условной	плотности		ер (х Iу)
от безусловной	плотности f1	(х) состоит	В	том, что функ­

ция ер (х Iу) дает распределение Х при условии, что со­ ставляющая У приняла значение У = у; функция же f1 (х) дает распредеЛение Хнезависимо от того, какие из

возможных значений приняла составляющая У.

Аналогично определяется условная плотность состав­

ляющей У при данном значении Х = х:

	'ф (у / х) = f		(х, y)lfl (х).		(**)
Если	известна	плотность совместного распределения
f (х, у)'	то условные плотности составляющих				могут быть
найдены	в силу (*)	и (**) (см. §		12) по формулам:
			QO
	ер (х/ у) = f (х,		у)! ~ f (х, y)dx,
			..
			- 00
	'Ф(уlх)=f(х,		у)! ~	{(х, y)dy.
			-QO
Запишем формулы (*) и			(**)	в виде
f (х, у) = f 2 (у) ер (х / у)'			f (х, у) = f1 (х) 'ф (у / х).

Отсюда заключаем: умножая закон распределения

одной из составляющих на условный закон распределе­ ния другой составляющей, найдем закон распределения

системы случайных велич.ш.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

ер (х Iу) ~ О, 5"".. ер (x/y)dx= 1;

-..

'ф (у Iх) ~ О, s'ф(уI х)dy = 1.

-QO

Прнмер. Двумерная случайная величина (Х, У) задана nпoT­

иостью совместного распределеиия

_	{1/(п,2)	прн)(' +11' < ,',
'()(, 1/}-	О	при )(2+11 > ,2.

172

Найти условные		законы распределения					вероятностей	состав-
nяющих.
Реш е и и е. Найдем условную плотиость составляющей								х при
Ixl < у,2_у' по формуле (.........):
'1'	(х I у)=		1/ (п,!)				1
					1	::'2~у":F:;::,;:1=':;::1I=:' •
			Yr'-/l
			1	Sdx
			п,·
Так как {(х.	у)=О		при xl	+1I1	> ,., то		'P(xl,,)=Oпри Ixl >
> У,!_уl.			(***...).
Пользуясь формулой				аналогично			найдем условную плот­
иость составляющей		У:
'i>(у 1х) = {		1/(2	У,1_ XIl)			при 1у 1 < У,1_XI ,
		О				при IYI > y,I_XI.

§ 15. )"CJlовное мвтематическое ожидание

Важной характеристикой условного распределе­

ния вероятностей является условное математическое ожи­

дание.

Условны'м .математически,М ожидание'м дискретной

случайной величины У при Х = х (х-определенное воз­ можное значение Х) называют произведение возможных

значений У на их условные вероятности:

М (У IХ =		т
	х) =	~ YjP (У/ Iх).
		1= 1
Для непрерывных величин
		...
м (У IХ =	х) =	SуЧJ(УIх)dy,
		-..

где ЧJ (У Iх) - условная плотность случайной величины У

при Х =х.

Условное математическое ожидание М (У Iх) есть Функ-

ция от х:

м (У Iх) = f (х),

которую называют ФlIнкцией регрессии У на Х. Аналогично определяются условное математическое

ожидание СJlучайной величины Х и функция регрессии Х на У:

м (Х Iу) = q> (у).

173

Прнмер. Дискретная двумерн.ая случа.Аная величнна задана табл. 5.

				Табл.нца 5
			х
у	.....=I	I ..... =3	I Х,,= 4.	I Х.=8
111=3	0,15	0,06	0,25	0,04
11.=6	0,30	0,10	0,03	0,07

Найти условное математическое ожидание составляющей У прн

Х=Хl= 1.

Ре w е и и е. НаАдем Р (Хl)' для чего сложим вероятности, по­

мещенные в первом столбце табл. 5:

Р (xl)=O,15+0,30=O,45.

Найдем условное распределенне вероятностей величииы У при

Х =Хl = 1 (см. § 13):

р(у11 Хl) =р (Хl. 1I1)/Р (Хl) = 0.15/0,45= 1/3;

р(У. I Хl) = р (Ха, II.)/р (Хl) = 0,30/0,45 = 2/3.

Найдем искомое условное математическое ожидание по фор­

муле (*):

2

М (У I Х=хд =~~ IIjP <11/1 хд=lI1Р (уll Хl) +1I2Р(У21 Хl) =

J= I

=3 (1/3)+6 (2/3) =5.

§ 16. Зависимые инезависимые CJlучайиые

величины

мы назвали две случайные величины независи­

мыми, еCJJИ закон распределения одной из них не зави­

сит от того, какие возможные значения приняла другая

величина. Из этого определения следует, что условные

распределения независимых величии равны их безуслов­

ным распределениям.

Выведем необходимые и достаточные условия незави-

•

симости случаиных величин.

Теорема. Для того чтобы случайные величины Х и У были неэависимыми, необходимо и достаточно, чтобы. функция распределения системы (Х. У) была равна nро­

изведению функций раоnределения составляющих:

F (х, у) = F 1 (х) F a (у).

Доказательство. а) Необходимость. Пусть

К и У независимы. Тогда события Х < х и У < у неза-

174

висимы, сле,цова'reJllJМ{О, мроятtЮC1'ь совмещения этих

событий равна произведению их 'Вероятностей:

р (Х < х, У < У) = р (Х < х) Р (У < У),

или

F (х, у) = F1 (х) Р. (у).

б) Достаточность. Пусть Р(х, y)=F1(x)F.(y).

Отсюда

Р (Х < х, У < у) = Р (Х < х) Р (У < У),

т. е. вероятность совмеЩeR'ИЯ событий Х < х и У < У

равна произведению вероятнOC'reЙ этих событий. Следова­

тельно, случайные .величины Х и У иеЭЗ1ilИСИМЫ.

С Л е Д с т в и е. Для того 'fmобы непрерывные случайные

величины Х и У были неэависиМblМи, необходи'м'О и доста­

точно, чтобы плотность C08JМCmнOгO распределения си­

сте,Мы (Х, У) бblЛll ра8IШ nроuэвеiJению nлотностей рас­

пределения составляющих:

f (х, у) = f1 (х) '. (У).

До к а 3 а т е л ь с Т В о. а) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть

ХИ У -иезависимы.е иепрерывые случайные величины.

Тогда (на основании предыдущ-ей теоремы)

Р(х, у)=Р1 (х)Р.(у).

Дифференцируя это равенство по х, затем по у, имеем

a2 F	дFl дF.
дхду-	дх ду ,

или (по определению плотНостей распределения двумер­ ной и одномерной величин)

f (х, У) = f1 (x)f. (У).

б) Достаточность. Пусть

f (х, у) = f1 (ХН2 (У).

Интегрируя это	равенство по х и по у, получим
11 "	"11
S Sf (х, у)dx dy = Sf1		(х)dx S'. (у)dy,
- (1:) - (1:)	- Qo	- ..
или (см. § 8 гл.	XIV и § 3 гл. Xl)
	F (х, у) = F 1 (х) Р. (у).

175

Отсюда (на основании предыдущ~А теоремы) заклю­ чаем, что Х и У R833ВИСИМЫ.

3 а м е ч а и и е. Так как ПРИlИ!деииые вwше усло••я являются

иеобходимыми и достаточными, то можно дать новые определеиия независимых случайных веnичин:

1) две случайные величины называюг неа8ВИСИМЫМИ, если функ­ ция распределения снстемы этих величин равна произведению функ­

ций раСllределения составляющих;

2) две иепрерывные случайные величины иазываюг независимы­

ми, если плотиость совместного распределения системы этих величин

равна произведению плотностеА распределеИИJf составляющих.

Пример. Двумерная непрерывная случайная величина (Х. У)

задана плотностью совмеагиоro раопределеНИJf
1(х, у) = (6in xsiп у)/4
в квадрате О..;;;; х <; п, О.;;;;; У < п; вне	квадрата 1(х, у) -	о. Доказать,
что состаВЛЯlOщие Х и У неЗ8ВИСИМЫ.	(...) и (...",) § 12,
Реш е н и е. Используя формулы		легко иайдем

плотиости распределения составляющих: 11 (х) = sin х/2, I1 (у) = sin у/2.

Плотность совместного распределения рассматрнваемоА системы рав­

на ПРОИ8ведению плотностеА распределения составляющих, поэтому

Х и У иезавнсимы.

Разумеется, можнО было доказать, чтО условные законы распре­

делення составляющих равны ИХ беауCJlOВИЫМ законам, откуда также

следует независимость Х и У.

§ 17. Числовые характеристики системы двух

CJlучайных величин. Корреляционный момент.

Коэффициент корреляции

Для описания системы двух случайных величии кроме математических о}Киданий и дисперсий составляю­

щих используют и другие характеристики; к их числу

относятся корреляционный момент и коэффициент корре­

ляции.

Корреляционным .моментом ....%10' случайных величин

Х и У называют математическое о}Кидание произведеиия

отклонений	этих величин:
	....ху = М {f Х -М {Х)] [У -М (У)]).
Для вычислени~ корреляционного момента дискрет­
ных величин		используют формулу
	n	т
....хll =	~	~ [xj-M (X)][Yj-М (У)] Р (xj , Yj),
	i = 1 J""'- 1
а для непрерывных величин -формулу
	..	OD
....Xl/=	5 5[х-М (Х)][у-М (У)]! (х, y)dxdy.

-CI)-CID

176

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинамн Х и У. Как будет показано

ниже, корреляциониый момент равен нулю, если Х и У

независимы; следовательно, если корреляционный момент

не равен нулю, то Х и У-зависимые случайные вели­

чины.

3 а м е ч а н н е	1.	Учитывая, что отклонения	есть центрирован­
ные случаАные величнны (см. гл. VIII, § 2), корреляцнонный момент
можно определить	как	математнческое ожидание	произведення цент­
рнрованных случайных		величнн:
		J.l.Xll= М (XYJ.
3 а м е ч а н н е	2.	Легко убедиться, что корреляционныii момент
можно записать в	виде

~txy=M (ХУ)-М (Х) М (У).

Теорема 1. Коррелщионный момент двух неэавucимых случайных величин Х и У равен нулю.

Доказательство. Так как Х и У-независимые

случайные величины, то их	отклонения Х-М (Х) и
У -М (У) также независимы.	Пользуясь свойствами ма­

тематического ожидания (математическое ожидание про­

изведения независимых случайных величин равно произ­

ведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно

нулю), получим

....Х1I=М {[Х-М (Х)] [У -М (У)]} =

= М [Х-М (Х)]М [У-М (У)]= О.

Из определения корреляционного момента следует,

что он имеет размерность, равную произведению размер­

ностей величин Х и У. Другими словами, величина

корреляционного момента зависит от единиц измерения

случайных величин. По этой причине для одних и тех же

двух величин величина корреляционного момента имеет

различные значения в зависимости от того, в каких еди­

ницах были измерены величины.

Пусть, например, Х и У были измерены в сантимет­

рах и ....х =	2 см2	; если	измерить Х и У в миллиметрах,
то ....Х1I= ~OO	мм.	Такая	особенность корреляционного мо-
			v	u

мента является недостатком этои числовои характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов

различных систем случайных величин становится затруд­

нительным. Для того чтобы устранить этот недостаток,

вводят новую числовую характеристику-коэффициент

корреляции.

12 - 27,0

177

Коэффициентом корреляции r"'11 случаitных величин

Х и У называют отношение корреляционного момента к

u

произведению средних квадратических отклонении этих

величин:

Так как размерность JL,,'II равна произведению размер­

ностей величин Х и У, а" имеет размер-ность величины

Х, a'll имеет размерность величины У (см. гл. VHI, § 7),

то ~ '.Х)J-безразмерная величина. Таким образом, величина

КО3qXpициента корреляции не зависит от выбора единиц

измерения случайных величин. В этом состоит преиму­ щество коэффициента корреляции перед корреляционным

моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независимых слу­

чайных величин равен нулю (так как JL"y = О).

3 а м е ч а н и е 3. Во многих вопросах теории вероятностей це­

лесообразно вместо случайной величины Х рассматривать нсрмиро­

ванную случайную величину Х', которую определяют как отношеиие

отклонения к среднему квадратическому ОТклонению:

Х' = (Х-М (Х»/а".

Нормированиая величина имеет математнческое ожидание, равное

нулю, и дисперсию, равную един.ице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

М (Х') =М [Х-М '(Х)] =1- М [Х-М (Х)) =~ .0=0;

<1"	а"	<1"
D (X')=D [Х-М (Х)] ==~ D [Х-М (X)]=D (Х) = 1.
а"	a~	a~

Легко убедиться, что коэффицнент корреляции , Jfll равен корре­

ляциониому момеиту иормированных величин Х' и У :

'X1I= М {[Х-М (Х)] [У-М (У)]} =М [Х-М (Х)		х- М (У)] =
<1"17,,	<1"	а"

=М (X'Y')=J.&x'y"

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного мо­

мента двух случаЙны.Х величин. Х и У не nревы.шает сред­

него геометрического иХ дисперсий:

Ifj,,"1 ~VD"D".

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в рассмотрение случай­

ную величину Zl =av...X-а"У и найдем	ее дисперсию
D (Zl) = м [Zl-mZ,]2. tlыполнив выкладки,	получим
D (Zl) = 2а~;-2а"аIlJL,,",

178

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

20'~;-20'xO'",...x,,~ О.

Отсюда
....~" ~ о'хО'".	(**)

Введя случайную величину Zt =а"Х +ахУ, аналО'гич­

но найдем

....х" ~- (J;PII •

Объединим (**) и (-х-**):

-О'хО',, ~ !!х" ~ O'XO'II'

или

Итак,

....х" ~V DxD".

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента кор­

реляции не nревышает единицы:

Ir х,,1 ~ 1.

Д о к а з а т е л ь с Т В о: Разделим обе части двойного

неравенства (****) на произведение положительных чисел

о'хО',,:

Итак.

Irxvl~l.

§ 18. I(орре.лированность и зависимость

случайных величин

Две случайные величины Х и У называют кор­

релированными, если их корреляционный момент (или,

что то же., ко~ициент корреляции) отличен от нуля; Х и У называют некоррелированны.мu величинами, если

их корреляционный момент равен нулю.

Две коррелированные величины также и зависимы.

Действительно, допустив противиое, мы должны заклю­

чить, что ....х" =Q, а это' противоречит услО'вию, так как

для коррелирО'ванных величин ....х" ==tbO.

Обратное предполО'жение не всегда имеет место, т. е.

если две величины зависимы, тО' они могут быть как

коррелированными, так инекоррелированными. Дрvгими

12*

179

словами, корреляционный момент двух зависимых вели­

чин может быть не равен нулю, но может и равняться

нулю.

Убедимся на примере, что две зависимые величины

могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная веЛичина (Х, У) задана плот-

ностью распределеиия:

{(х, y)=1/6n внутри эллипса x 2 ;9+y2/4=1; {(ж, у) =0 вне этого эллипса.

Доказать, что Х и У-зависимые некоррелированные величииы. Реш е н и е. Воспользуемся раиее вычисленными плотностями

распреДЕ'лення составляющих Х и У (см. § 12):

2	12	I	V 4_у2 внутри заданного эллип-
fl (Ж)=9п у 9-x~,		(y)=2n

са и fl(X)=O, f2(Y)=0 вне еГО.

Так как f (ж, у) ,р {1 (ж) fl (у), то Х и У - завнсимые величииы

(см. § 16).

Для того чтобы доказать некоррелнрованноСТЬ Х и У. доста­ точно убедиться 8 том. что "'.ж1l=0' НаАдем коррел'яционный момент

по формуле (см. § 17)

OD ..
"'ХII= ~	)	[ж-М (X)J[Y-М(У)J{(х, у)dжdу.
-00	-110
Поскольку функция		{1 (х) снмметрична отиоснтельно оси Оу. то

М (Х) = О; оаиалогично. М (У) =0 в силу симметрии {_ (у) отнОси­

тельно оси ж. Cnедовагельно.., ...

(i.жll = ~ ~ жу! (х. у) dx dy.

-00 -00

Выиося постоянный множитель! (~. 11) за знак интеграла. получим

Внутренний нитеграл равен нулю (подыитегральная фУНК/IКЯ иеЧf'тиа.

пределы интегрирования симметричны отиосительно иачала коорди­

нат). следовательио. "'.жу-О. Т. е. зависимые елучайиые величины Х

и У некоррелированы.

Итак, из коррелнрованности АВУХ случайных величин

следует их зависимость, но из зависимости еще не вы­

текает коррелированность. Из независимости двух вели­

чин следует их некоррелированность, но из некоррели­ рованиости еще нельзя заключить о независимости этих

величин.

180