2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Остается найти q. с этой целью введем в рассмотрение

случайную величину «хи»:

х= (S/a) V n-1,

где n-объем выборки.

Как было указано [см. § 16,			пояснение,		соотношение
(***)] , величина SII (n-l )jall		распределена			по	закону х'1.
с n -1 степенями свободы,		поэтому		квадратный корень
из нее обозначают через х.
Плотность распределения		Х имеет		вид (см.		пояснение
в конце параграфа)	хn - 2е- '1.'/2
R ('1., n) =
	2(n-	8)/11 r	(1) .
			n;-

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра а,

а зависит лишь от объема выборки n.

Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло

вид '1.1 < '1. < '1.1. Вероятность этого неравенства (см. гл. XI,

§ 2) равна заданной вероятности У. т. е.

'1..

~ R ('1.. n) dx = у.

х.

Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так:

1	1	1
=s(""'-+""""""'q)1	< а < s (1- q).
Умножив все члены	неравенства на S V n - 1. получим
Уn-l < SYn - l < Yn - l
l+q	а	l-q •
или
Yn - l	<'1.<	Уn-l
l+q		l-q •

Вероятность того. что это неравенство, а следовательно,

и равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено,

равна

v;:;:т1(1 - q)

~R (х, n) dX = у.

Yn=J/(I +q)

221

Найти довери­

распределен нормально. По выборке объема

Из этого уравнения можно по заданным n и '\' найти q. Практически для отыскания q пользуются таблицей при­

ложения 4.		по выборке s и	найдя по таблице q, полу­
Вычислив
чим	искомый доверительный		интервал (*), покрывающий
	u	надежностью ,\"
(J С	заданнои		т. е. интервал

s (l-q) < (J < S (1 +q).

Пример 1. Количественный признак Х генеральной совокупности

распределен нормально. По выборке объема n = 25 найдено «нсправ·

ленное. среднее квадратическое отклснеlfие s = 0,8. Найти доверитель­ ный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичеСКО8

отклонение (1 с надежностью 0,95.				4 по даиным 'v= 0,95 и
Реш е н·и е.	По таблице приложения
n=25 найдем q=O,32.
Искомый доверительный интервал (*) таков:
0,8 (1-0,32) <		(1 < 0,8 (1 +0,32), или		0,544 < а <		1,056.
3 а м е ч а н и е.		Выше	прeдnолагалось,	что	q < 1.	Еcnи q > 1.
то иеравенство (.)	примет		вид (учитывая, что (1		> О)

О < (1 < S (1 +q),

или (ПОCJIе преобразований, аналогнчных cnучаю q < 1)

Уn-l/(l +q) < Х < CIO.

Следоватenьно, значения q > 1 могут быть найдены из уравнения

ао

~ R (х, n) dx='V· yn::t/(I +q)

Практически для отыскаиия значений q > 1, соответствующих раэличным заданиым n и 1" пользуются таблицей приложения 4.

Пример 2. Количественный признак Х генеральной совокупности n = 10 найдено «исправ­

ленное. среднее квадратическое отклонение s = 0,16.

тельный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое

отклснение а с надежностью 0,999.

Реш е н и е.	По	таблице	приложения			4 по данным l'= 0,999 и
n= 10 найдем q= 1.80 (q> 1). Искомый						доверительный интервал
таков:
0< (1	< 0,16 (1+1,80),			или	0< (1 < 0,448.
П о я с н е н и е.		Покажем,		что	плотность распределе­
ния Х имеет вид (**).
Если случайная величина				Х	распределена по закону
х' с k = n -1	степенями		свободы,			то ее плотность рас­
пределения (см. гл. ХН,			§ 13)

f (х)- ''''''1е I		-'(~')' •
2 /	r -2

222

или после подстановки k = n - l

х(n-3)!I е-Ж!I

f (х) = -----(n;--1)~.

2(n-l)/2г

Воспользуемся формулой (см. гл. XII, § 10) g (у) = f ['1' (у)] 1'1" (у) 1,

чтобы найти распределение функции X=q> (X)=VX (х>О).

Отсюда обратная функция

	х = '1' (Х) = х2	и		'Ф' (х) = 2х·
Так как х> О, то 1'1" (х) I=		2х,		следовательно,
g (х) =	f ['1' (х)].\ '1" (х)I=		(		2)(n- 1)/1 -'1.,1/1
				(Х	>!	(: -1) . 2х·
			2 n-l 1			Г
						2
Выполнив элементарные преобразования и изменив
обозначения	(g (х), заменим		на		R (х,	n»,	окончательно

ПOJlучим

§19. Оценка точности измерений

втеории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего

квадратического отклонения (J случайных ошибок изме­

рений. Для оценки а используют «исправленноз» среднее

квадратическое отклонение s. Поскольку обычно резуль-

u

таты измерении взаимно неззвисимы, имеют одно и то же

математическое ожидание (истинное значение измеряемой

величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточ­ иых измерений), то теория, изложенная в предыдущем

параграфе, применима для оценки точности измерений.

Пример. По 15 равноточиым измерениям найдено «исправленное»

среднее	квадратическое отклоненне		s = О, 12. Найти	точность измере­
ний с надежностью 0,99.
Реш е н и е. Точность		нзмереннй характернзуется средним квад­
ратическим отклонением		(1 случайных ошибок, поэтому задача сво­
Дится К	отысканию довеgнтельного		интервала (*),	покрывающего (1
с заданной надежностью		,99 (см. §	18).

223

По таблице приложеиия 4 по у=О,99 и n= 15 иайдем q=О,7З.

Искомый доверительный интервал

0,12 (1-0,73) < (1 < 0,12 (1+0,73), или 0,03 < (1 < 0,21.

§ 20. Оценка вероятности (биномиального

распределения) по относительноА частоте

Пусть производятся независимые испытания

с неизвестной вероятностью р появления события А

в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность р по относительной частоте, т. е. надо найти

ееточечную и интервальную оценки.

А. Точечная оценка. В качестве точечной оценки не­

известной вероятности р принимают ОТНОСИТ2JIЬНУЮ частоту

W=m/n,

где т-число появлений события А; n-число испыта­

ний *).

Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожи­

дание равно оцениваемой вероятности. Действительно,

учитывая, что М (т) = пр (см. гл. VII, § 5), получим

М (W) = м [т/n] = М (т)/n = nр/n = р.

Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что

D (т) = npq (см. гл. VII, § 6):

D (W) = D [т/n] = D (т)/nl = npq/n2 = pq/n.

СЛсюда среднее квадратическое отклонение.

0w= VD (W) = Vpq/n.

Б. Интервальная оценка. Найдем доверительный ин­

тервал для оценки вероятности по относительной частоте. Напомним, что ранее (см. гл. XlI, § 6) была выведена

формула, позволяющая найти вероятность того, что аб­

солютная величина отклонения не превысит положитель­

ного числа б:

р (1 Х-а 1< б) = 2ф (б/а).

"') Напомним, что случайные величины обозиачают прописными,

а их возможные значения-строчными буквами. В различных опытах

число т 1I0Я8JIений события будет изменяться и поэтому Я8JIЯется случайной величиной М. Однако, поскольку через М уже обозначено

математическое ожидание, мы сохраним для случайного числа появ' леиий события обозначение т.

224

где Х -	н о р м а л ь н а я случайная величина				с	математи­
ческим ожиданием М (Х) = а.
Если	n	достаточно велико	и	вероятность	р	не очень
близка	к	нулю и к единице,	то	можно считать, что от­

носительная частота распределена приближенно иор­

мально, причем, как показано в п. А, М (W) = р. Таким образом, заменив в соотношении (*) случайную

величину Х и ее математическое ожидание а соответ­ ственно случайной величиной W и ее математическим ожиданием р, получим приближенное (так как относи­

тельная частота распределена приближенно нормально)

равенство

Р (\ W-p 1< б) = 2ф (б/<1w).

Приступим К построению доверительного интервала (Pl' PI)' который с надежностью у покрывает оцениваемый

параметр р, для чего используем рассуждения, с помощью

которых был построен доверительный интервал в гл. XVI, § 15. Потребуем, чтобы с надежностью увыполнялось соотношение (**):

р (\ W -р 1< 6) = 2ф (б/<1) = у.

Заменив <1w через V pq/n (см. п. А), получим

Р (1 W-p 1< 6) = 2Ф (6 Vn/ViЩ) = 2Ф (t) = у,

где t=БVn/Vрq.

Отсюда

6=tV pq/n

и, следовательно.

p(\W-рl < tV рq/n)=2ф(t)=у.

Таким образом, с надежностью у выполняется нера­

венство (чтобы получить рабочую формулу. случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относи­ тельной частотой w и подставим l-p вместо q):

\ ш-р I < t V р (l-p)/n.

Учитывая, что вероятность р неизвестна. решим это

неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

ш-р < t V р (l-p)/n.

152730

225

обе части неравенства положительны; возведя их в квад­

рат, получим равносильное квадратное неравенство от­ носительно р:

r<t1jn) + 1)Jp'-2[w+<t'Jn)Jр+w1 < О.

Дискриминант трехчлена ПOJIожительный. поэтому его

корни действительные и различные:

меньший корень					(/ )1]
n [	18	,/w(l-w)		+
Рl==/*+n	w+2ti- t	r	n		2ii •
больший корень
P'=/2~n[W+::+t			интервал Рl < Р < Р••
Итак, искомый доверительиый
где Pl и Р. находят по формулам (***) и (****).
При Bывоеe мы предположили,			что w		> р; тот же ре­
зультат получим	при w < р.

Пример. ПРОИЗВОДЯТ независимые испытания с одииаковой, но

иеизвестиой вероятностью Р появления события А в каждом испыта·

иии. Найти доверительиый интервал для оценки вероятности Р с на­

дежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

Реш е н и е. По		УСЛОВJlЮ,	n = 80,		т = 16, ,\,=0,95. Найдем от·
носнтельную частоту появления события А:
		ш=m/n = 16/80=0,2.
Найдем / из соотиошеиия Ф (/)=,\,/2=0,95/2=0,475: по таблице
функции Лапласа (см.		приложение 2) находим t = 1,96.
Подставив n=80. ш=0,2,			t= 1,96 в формулы (.........) и						(..........),
ПOlJучим соответственно Pl=O,J28, Ps=O,299.							< Р < 0,299.
Итак, искомый довернтenьиый иитервал 0,128
3 а м е ч а н и е	1.	При больших		значениях			n (порядка		сотен)
слагаемые t 1 j(2n)	и (t/(2n»S очень малы и множитель n/(JI+n)~ 1,
поэтому можно принять в качестве				приближенных границ довери·
тельного интервала				PI = W +t
Рl = w - t	y'--w-("'"'I-=--w"":"")/""n		и			У w (1 -		ш)/n.
3 а м е ч а н и е	2.	Чтобы избежать			расчетов		концов доверитель­
иых интервалов,	можно использовать				табл.	28	книги	Я н к о Я.

Математико-статистические табnицы. М. о Госстатнздат, 1961.

§ 21. Метод моментов ци точечной оценки

параметров распределении

Можно доказать, что начальные и центральные

8мпирические моменты являются состоятельными оценками

соответственно начальных и центральиых теоретических

226

моментов того же порядка. На этом основан метод момен­

тов, предложенный К. Пнрсоном. достоинство метода­

сравнительная его простота. Метод моментов точечной

оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов рас­ сматриваемого распределения соответствующим эмпнриче­

ским моментам того же порядка.

А. Оценка одного параметра. Пусть задан вид плот­ ности распределения f (х, О), определяемой одним неиз­ вестным параметром о. Требуется найти точечную оценку параметра о.

Для оценки о д н о г о пар а м е т р а достаточно иметь

о д н о у р а в н е н и е относительно этого параметра. Следуя

методу моментов, приравняем, например, начальный тео­

ретический момент первого порядка начальному эмпири­
ческому моменту первого порядка:	"1	= М1• Учитывая,
что "1 =- М (Х) (см. гл. VIII, § 10), М1 =		ХВ (см. гл. ХУН,
§ 2), получим

Математическое ожидание М (Х), как видно из соотно­

шения

QI)

м (Х)= ~ х' (х; О)dx = ер (8),

-QI)

есть функция от О, поэтому (*) можно рассматривать как уравнение с одним неизвестным о. Решив это уравнение относительно параметра О, тем самым найдем его точеч­ ную оценку 0-, которая является функцией от выбороч­ ной средней, следовательно, и от вариант выборки:

О· = Ф (х1• Х" •••• хn).

Пример 1. Найти методом моментов по выборке Хl, Ха, ••• , Х,.

точечную оцеику неизвестного параметра л показательного распреде­

.nення, п,nотность распредe.nения котороro f (Х) = 1..е-Ы- (Х ~ О).

Реш е н и е. Приравняем нача,nьныА теоретический момент пер­

вого порядка нача,nьному эмпирическому моменту первого порядка:

'Уl=М1• УIIитывая, что "l=М (Х), М1 =Хв, по,nучим

М (Х)=ХВ•

Приняв во внимание, что математическое ожидание показатe.nъноro

распреде.nения равно 1/1.. (см. гл. XIII, § З), имеем

J/1..=хв•

15*

Отсюда

Л= l/xB.

Итак, искомая точечная оценка параметра Л показательного рас­

пределения равна величине, обратной выборочной средней:

Л'" = l/xB •

Б. Оцеllка двух параметров. Пусть задан вид плотн.ости

распределения f (х; 61' 61)' определяемой неизвестными

параметрами 61 и 61. Для отыскания д в у х пар а м е т р о в

необходимы два уравнения относительно этих параметров.

Следуя методу моментов. приравняем, например. началь­

ный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный

теоретический момент второго порядка центральному эм­

пирическому моменту второго порядка:

			"1 = М1•	""1 = ml •
Учитывая. что "1 = М (Х), ""1 = D (Х) (см.					гл. VII 1. § 1О).
М1 = Ха. ml = DB		(см. гл. XVII, § 2). получим
			М (Х) =Хв, }				(**)
			D (Х)= Da •
Математическое		ожидание и дисперсия есть функции от
61 Н	61' поэтому		(**) можно рассматривать			как	систему
двух	уравнений	с	двумя	неизвестными	61	и 61.	Решив

эту систему относительно неизвестных параметров, тем

самым получим их точечные оценки 6; и 6;. Эrи оценки

ЯВJIяются функциями от вариант выборки:

6; ="'1 (хн	X1' ... ,	Хn).
6; =",. (Х1,	ХII• • •••	Хn)'
Пример 2. Найти метод.ом	моментов по выборке Хl, X1, •••		, ХN
точечные оценки иеизвестных параметров		а и (1 нормального	рас­

пределения

Реш е н и е. Приравияем начальные теоретические и эмпиричес­

кие моменты первого порядка, а также центральные и эмпирические моменты второго порядка:

"1=М1, .... =m•.

Учитывая, что 'Уl=М(Х), .... =D (Х), М1 Хв. m. =DB , получим

м (Х)=х•• D(X)=D•.

228

Приняв во внимание, что математическое ожиданне иормального рас­

пределения равно параметру а, дисперсия равна 02 (см. ГЛ. ХН, § 2),

имеем:

а=хв, o2=D B •

Итак, нскомые точечные оценки параметров нормального рас­

пределения:	-		в'	0-= YDB •
	а--х
3 а м е ч а н и е	1. Для oцeHO~ неизвестных параметров можно
приравнивать не	только	сами		моменты, но и функции от моментов.

Вчастности, этим путем получают состоятельные оценки характе­

ристик распределений, которые являются функциями теоретических моментов. Напрнмер, асимметрия теоретического распределения

(см. гл. ХН, § 9)

есть функция от центральных моментов второго и третьего порядков.

Заменив эти теоретические моменты соответствующими эмпирическими

моментами, получнм точечную оценку аснмметрии

А; = mB/( Ут2)8.

3 а м е ч а н и е 2. Учитывая, что ~ = УD B = ав• последнюю

формулу можно записать в виде

АS=• тaIОв8'

Далее эта оценка будет принята в качестве определения асиммет­

рии эмпирического распределения (см. гл. XVH. § 9).

§ 22. Метод наиБОJlьшего правдоподобия

I(роме метода моментов, который изложен в пре­ дыдущем параграфе, существуют и другие методы точеч­

ной оценки неизвестных параметров распределения. К ним

относится метод наибольшего правдоподобия, предложен­

ный Р. Фишером.

А. Дискретные CJlучайные веJlИЧИНЫ. Пусть Х -диск­

ретная случайная величина, которая в результате n ис­

пытаний приняла значения Х1' Х1, . ••• Хn' Допустим. что

вид закона распределения величины Х задан, но неиз­

вестен параметр 6. которым определяется этот закон.

Требуется найти его точечную оценку.

Обозначим вероятность того, что в результате испы­

тания величина Х примет значение Х,и= 1. 2, ... , n), через

р (х,; 6).

Функцией nравдоnодобия дискретной случайной велu­ чины Х называют функцию аргумента 6:

L (Х1• Х2• •••• Хn; 6) = р (Х1; 6) Р (х2; 6) ... р (хn; 8),

где Х1• ХII• •••• хn-фиксированные числа.

229

В качестве точечной оценки параметра О принимают та­

кое его значение о· = О· (Х1, Ха' ... , Хn), при котором фун­

кция правдоподобия достигает максимума. Оценку ~ на­

зывают оценкой наибольшего nравдоnодобия.

Функции L и lп L достигают максимума при одном и том же значении О, поэтому вместо отыскания максимума

функции L ищут (что удобнее) максимум функции fn L.

Логарифмической функцией nравдоnодобия называют

функцию lп L. Как известно,		точку максимума функции
lnL аргумента О можно искать, например, так:
1) найти производную	dJnL	;
	dO

2) приравнять производную нулю и найти критическую

точку-корень полученного уравнения (его называют

уравнением nравдоnодобия);

tPln L

З) найти вторую производную dOi ; если вторая

производная при О = О· отрицательна, то О·-точка мак­

симума.

Найденную точку максимума О· принимают в качестве

оценки наибольшего правдоподобия параметра О.

Метод наибольшего правдоподобия имеет ряд досто­

инств: оценки наибольшего правдоподобия, вообще говоря, состоятельны (но они могут быть смещенными), распреде­

лены асимптотически нормально (при больших значениях n приближенно нормальны) и имеют наименьшую дисперсию

по сравнению с другими асимптотически нормальными

оценками; если для оцениваемого параметра О существует

9ффективная оценка О·, то уравнение правдоподобия нмеет

единственное решение О·; этот метод наиболее полно ис­

пользует данные выборки об оцениваемом параметре,

поэтому он особенно полезен в случае малых выборок.

Недостаток метода состоит в том, что он часто требует

сложных вычислений.

3 а м е ч а н и е 1. Функция правдоподобия- функция от аргу­ мента 6; оценка наибольшего правдоподсбия-функция от независи­

IIЫХ аргумеитов Xl. Ха. • ••• Хn•

3 а м е ч а н и е 2. Оценка нанбольшего правдоподобия не всегда

совпадает с оценкой, найденной методом моментов.

Пример 1. НаАти методом наибольшего правдоподобия оценку

параметра л распределения Пуассона

'J"X'e-Л

Рт(Х=х,)

х,l

где т-число произведенных нспытаниА. х[-число ПОЯВJlений собы­

тия в ,-м (t = 1. 2••..• n) опы~ (опыт состоит из т испытаний).

230