Распределение Пуассона

Пусть вероятность появления признака у одной частицы мала и общее число частиц велико , тогда, если признак имеют в среднем частиц, то его вероятность дляn частиц

. (1.18)

Результат получил Пуассон в 1837 г. на основе биномиального распределения.

Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Доказательство

Записываем биномиальное распределение (1.29)

,

где учтено

.

При используем

,

,

,

и получаем (1.18)

.

Условие нормировки

Вычисляем сумму вероятностей всех возможных результатов

.

При большом N используем

,

получаем условие нормировки

.

Среднеквадратичное число частиц и дисперсия

Используем результаты для биномиального распределения (1.28), (1.30) и (1.31)

,

,

.

Для распределения Пуассона учитываем и получаем среднеквадратичное число частици дисперсию

, (1.18а)

. (1.18б)

Частные и рекуррентные соотношения

Из (1.18)

Прямой подстановкой находим

,

,

,

. (1.18в)

График распределения для показан на рис. (б).

а б

Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б)для N = 10, , р = 0,45

Сравнение графиков показывает погрешность, допускаемую распределением Пуассона (график б), вызванную не достаточно малым p и не достаточно большим N.

нормальное распределение Гаусса

Если признак имеется в среднем у частиц, причем выполняется , то вероятность признака у n частиц при относительно малом отклонении от среднего описывается нормальным распределением

. (1.19)

Результат получил Гаусс в 1809 г.

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855)

Доказательство

Условие означает и выполнение распределения Пуассона

.

Логарифмируем

.

При используемформулу Стирлинга (рассматривается в курсе ММФ)

,

которая дает

.

Получаем

.

Вводим отклонение от среднего , тогда

.

Для распределения Гаусса учитываем . Разлагаем по степеням малой величиныи сохраняем первые два слагаемые, считая остальные несущественными:

.

Находим

.

Потенцируем результат и, используя ,заменяем , и получаем (1.19)

.

Условие нормировки

На основании считаем n квазинепрерывным и переходим от дискретного распределения (1.19)

к непрерывному распределению и получаем плотность вероятности

. (1.19а)

Условие нормировки имеет вид

.

Верхний предел интегрирования взят бесконечным, поскольку функция быстро убывает при. Заменен аргумент

.

Нижний предел приравен

.

Верхний предел дает

.

Последний интеграл является интегралом Пуассона

.

В результате доказано, что плотность вероятности (1.19а) нормирована.

Среднее значение

В определение среднего случайной величины

подставляем . Получаем

,

где учтена нормировка

,

и среднее отклонение от среднего .Следовательно, в распределении Гаусса (1.19а)

величина является средним значением числа частицn.