Дисперсия
В определение дисперсии подставляем (1.19а)
.
заменяем
и находим
.
Последний интеграл вычислен по формуле из курса ММФ
.
Дисперсия
(1.20)
совпадает с результатом (1.18б) для распределения Пуассона.
Из (1.19а) и (1.20) получаем плотность вероятности, выраженную через дисперсию
.
(1.21)
Характерная ширина распределения увеличивается, а высота уменьшается как корень квадратный из дисперсии.
Распределение
Гаусса,
Центральная предельная теорема – при суммировании большого числа независимых случайных величин, имеющих различные распределения, результирующее распределение близко к распределению Гаусса.
Теорема обосновывает применимость нормального распределения к многочисленным случайным процессам. Теорему доказал А. Ляпунов в 1901 г.
Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918)
Пример 1
Для распределения Пуассона найдем производящую функцию и среднеквадратичное число частиц.
Используем производящую функцию биномиального распределения (П.1.5)
.
С
учетом (1.16)
получаем
.
Для
распределения Пуассона
используем «замечательный предел»
,
где
,
тогдапроизводящая
функция для распределения Пуассона
.
(П.1.14)
Подставляем результат в (П.1.18)
.
Используем
,
,
получаем
.
(П.1.14а)
Пример 2
Найдем распределение времен свободного пробега электрона металла.
Металлы
первой группы таблицы Менделеева
содержат в электронной оболочке один
слабо связанный с атомом валентный
электрон. При объединении атомов в
кристаллическую решетку этот электрон
становится свободным. В узлах
кристаллической решетки металла остаются
ионы, которые совершают тепловые
колебания. Валентные электроны образуют
идеальный газ с концентрацией
.
В любом макроскопическом объеме имеется
одинаковое число положительных и
отрицательных зарядов, поэтому на
электрон не действуют электростатические
силы. Благодаря тепловому движению
электрон хаотически перемещается от
столкновения с ионом до столкновения
с другим ионом. При нормальной температуре
средняя скорость теплового движения
~100 км/с.
При термодинамическом равновесии процессы стационарные и вероятность b столкновения электрона за единицу времени не зависит от момента t. Тогда за время dt вероятность столкновения
.
Функция распределения времен свободного пробега w(t) равна вероятности того, что время свободного движения лежит в единичном интервале около значения t. Вероятность свободного движения до момента t и столкновения в следующий промежуток dt по теореме умножения вероятностей независимых событий равна
,
и
является уменьшением вероятности
свободного движения при переходе от t
к
.
В результате для вероятности свободного
движения получаем
.
Разделяем переменные
,
интегрируем
,
где
– вероятность, что время свободного
движения лежит в единичном интервале
около нуля. Получаем
,
потенцируем
.
Нормируем вероятность
,
получаем
,
.
Среднее время свободного пробега
(П.1.22)
обратно
вероятности столкновения электрона за
единицу времени.
При нормальной температуре
.
В результате функция распределения
времен свободного пробега
.
(П.1.23)
Следовательно, вероятность свободного движения в течение времени t уменьшается экспоненциально с ростом t.
Среднеквадратичное время свободного пробега
(П.1.23а)
равно удвоенному квадрату среднего времени свободного пробега, где интеграл вычислен по частям.