§2.3. Произведение векторов
В различных вопросах естествознания кроме умножения вектора на число нужны также операции произведения векторов. В отличие от перемножения чисел, перемножение (двух) векторов может быть проделано тремя способами: произведение вектора на вектор есть скаляр – скалярное произведение векторов, либо вектор – векторное произведение, либо матрица (тензор) – диадное произведение двух векторов.
Помимо этих, нужны также произведения троек векторов. Здесь мы рассмотрим произведения векторов трех типов (видов): скалярное и векторное произведения двух и смешанное произведение трех векторов.
2.3.1. Скалярное произведение векторов
10. Определение
скалярного произведения векторов.
Пусть даны векторы
и
,
– угол между ними. Введем определение.
Определение. Скалярным
произведением векторов
и
называется число (скаляр), равное
произведению модулей этих векторов на
косинус угла
между ними:
.
(2.34)
Для обозначения скалярного
произведения употребляют также символы
,ab.
Замечание. Скалярное произведение
более двух векторов не определяется.
С учетом определения (2.34) и (2.17) скалярное произведение может быть представлено также в виде
.
(2,34’)
Из (2.34’) следует, что если
,
то проекция
.
(2.35)
Пример. Пусть сила
действует на прямолинейно перемещающуюся
точкуM(рис.2.15). РаботаAсилы
на перемещении
точки
единичной массы равна произведению
модуля силы
на величину перемещенияS
и косинус угла между ними:
.
С учетом определения (2.34) работа
.
(2.36)
20. Свойства скалярного произведения. Перечислим свойства скалярного произведения векторов.
1) скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю, или когда эти векторы перпендикулярны.
Для доказательства
этого следует записать скалярное
произведение по формуле (2.34):
.
2)
– скалярный квадрат вектора равен
квадрату его модуля. Употребляют
обозначение
.
Доказательство проводится по определению (2.34).
3)
– скалярное произведение не зависит
от порядка сомножителей.
Доказательство.
.
4)
– скалярный множитель можно выносить
за знак скалярного произведения.
Доказательство
основано на свойстве проекции: так как
,
то
;
далее применяем свойство 3.
5)
– для скалярного произведения выполняется
распределительный (дистрибутивный)
закон сложения относительно умножения
векторов.
Используя
свойство проекций:
и умножая обе части этого равенства на
,
получим доказательство распределительного
свойства.
Приведенные свойства показывают, что со скалярным произведением можно обращаться достаточно просто.
Пример. Вычислить
.
Решение.
=
.
30. Скалярное произведение в координатной форме. Угол между векторами. Найдем выражение для скалярного произведения «в координатной форме» – выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов.
Используя
свойство 2 скалярного произведения, для
ортов
найдем:
;
.
(2.37)
Пусть
,
– разложения векторов
и
в ортогональном базисе
.
Перемножая векторы
и
скалярно, используя свойства скалярного
произведения и правило (2.37) перемножения
ортов, получим:
(2.38)
– скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных компонент. В частности,
.
(2.38’)
Замечание. Из (2.38) следует,
что действие возведения в (скалярный)
квадрат и последующее извлечение корня
не аннулируют друг друга:
(
).
Используя (2.38), можно записать условие перпендикулярности векторов через их координаты:
.
(2.39)
Пример.Определить значение
параметра
,
при котором вектор
перпендикулярен вектору
.
Решение. Из условия (2.39)
перпендикулярности векторов получим
уравнение:
,
из которого находим
=
–1.
Подставляя (2.38) и (2.38’) в выражение (2.34), найдем, что
.
(2.40)
Приведем примеры.
Пример 1.На (материальную)
точку действуют три силы
,
и
.
Найти а) величину и направление
равнодействующей сил
и
;
б) работу, которую совершит равнодействующая
этих сил, перемещая точку единичной
массы по прямолинейному отрезку из
точки
в точку
.
Решение. а) обозначим
равнодействующую заданных трех сил.
Запишем равнодействующую
в координатной форме:
.
По формуле (2.24)
.
Направление равнодействующей определяется
направляющими косинусами с помощью
формул (2.25):
.
б) координаты вектора перемещения
(см. формулу (2.29))
.
По формуле (2.36) работа
.
Пример 2. Даны вершины
треугольника
,
и
.
Определить внутренний угол треугольника
при вершинеB.
Решение. Обозначим угол
при вершинеB через
.
Построим векторы:
,
.
По формуле (2.40) найдем:
и угол
.
Пример 3. Даны три вектора
,
и
.
Вычислить
.
Решение. Вектор
.
По формуле (2.35)
=
=
=
=
.