2.3.3. Смешанное произведение трех векторов

1⁰. Определение смешанного произведения. Введем определение.

Определение. Смешанным произведением трех векторови(обозначается символом) называется скалярное произведение векторана вектор:

=. (2.45)

Теорема. Модуль смешанного произведенияравен объему параллелепипеда, построенного на векторахи.

Доказательство. Пусть векторыи, образующие правую тройку, некомпланарны (в случае их компланарности==0 – равенство очевидно).

Тогда (рис.2.19) =– смешанное произведение векторовиравно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Для случая левой ориентации тройки векторов иугол между векторамиитупой; в таком случае произведение= –V(ориентация пространства всюду предполагается правой).

2⁰. Свойства смешанного произведения.

1) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда все три вектора компланарны (в доказательстве можно использовать геометрический смысл смешанного произведения);

2) – смешанное произведение не зависит от группировки множителей.

Доказательство. Оба смешанных произведения имеют одинаковые абсолютные величины, ибо равны объему параллелепипеда, построенного на векторахи. Знаки произведений также совпадают, ибо если тройка,– правая, то и– правая тройка. Аналогично при левой ориентации тройки векторов.

3) законы круговой и парной перестановки векторов: ==== ==– доказательства очевидны;

4) – смешанное произведение векторов обладает распределительным свойством; это следует из распределительного свойства скалярного произведения;

5) – скалярный множитель можно выносить за знак смешанного произведения (это есть следствие соответствующих законов для векторного и скалярного произведений).

3⁰. Смешанное произведение в координатной форме. Пусть заданы разложения векторов,и. Найдем выражение для смешанного произведения их.

Векторное произведение

=

и, следовательно, смешанное произведение

==. (2.46)

Пример. Доказать, что точкиилежат в одной плоскости.

Решение. «Построим» три вектораи: четыре точки лежат в одной плоскости, если эти три вектора компланарны. Имеем:,=,=.

По формуле (2.46) составим смешанное произведение

=

– векторы компланарны и, следовательно, заданные четыре точки лежат в одной плоскости.

Этим завершим изложение основ векторной алгебры.