СоотношениЕ неопределенностей

Для измерения величины a, описываемой оператором , частица в исследуемом состоянииприводится во взаимодействие с соответствующим прибором. Его состояние, описываемое классической физикой, изменяется. Регистрируем изменение и получаем измеряемую величину. Повторяем измерениеN раз, находим среднее значение и дисперсию

,

.

Если исследуемое состояние совпадает с одной из собственных функций оператора , то результат измерения однозначен и погрешность равна нулю

, .

Для измерения величины , описываемой оператором, используется другой прибор. Еслиикоммутируют, то наборы их собственных функций {Ψ_n} совпадают, соответствующие измерения совместимы. В состоянии результаты однозначные,, их точность не ограничена.

Если эрмитовые операторы ине коммутируют

, (2.29)

где – эрмитовый оператор (доказательство на практических занятиях), то иимеют разные наборы собственных функций. Измерительные приборы дляа и b несовместимы, действие одного прибора нарушает работу другого. Например, на лекции 1 показано, что при измерении координаты волны используется экран со щелью. Это вызывает дифракцию волны и растет неопределенность импульса. Измерить а и b одновременно с высокой точностью невозможно. В состоянии найдем связь между их флуктуациями, т. е. абсолютными погрешностями:

,

,

где дисперсия по определению среднего равна

,

.

Ограничение коммутатора. Среднее от квадратичной формы эрмитовых операторов ипо любому состоянию Ψ не может быть отрицательным

. (2.30)

Во втором равенстве использована операция эрмитового сопряжения. Упрощаем левую сторону (2.30), учитывая эрмитовость операторов:

.

В результате коммутатор

ограничен

. (2.31)

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В качестве ивыбираем операторы относительного отклонения от среднего

, , (2.32)

удовлетворяющие

.

С учетом

,

находим

, ,.

Из (2.31) получаем

. (2.33)

Если операторы коммутируют, то ,и измеренияa и b можно выполнить с неограниченной точностью.

Соотношение неопределенностей координата-импульс. Коммутатор

сравниваем с (2.29)

,

получаем

, ,

из (2.33) находим

(2.37)

– чем точнее измеряется координата частицы, тем неопределеннее импульс, и наоборот. Локализация частицы приводит к увеличению неопределенности ее импульса и кинетической энергии. Аналогичная формула была получена в полуклассической квантовой механике.

Соотношение неопределенностей энергия-время. Средняя скорость частицы выражается через путь и время

.

Флуктуация кинетической энергии

,

тогда

.

Учитывая (2.37), находим

(2.39)

– чем точнее измеряется энергия, тем больший промежуток времени необходим для измерения;

– чем уже энергетический уровень δЕ возбужденного состояния, тем больше время его жизни δt.

ОператорЫ трансляции и эволюции

Развитие состояния частицы во времени описывает волновое уравнение Шредингера. Для вывода уравнения используем оператор эволюции, сдвигающий состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.

Оператор трансляции сдвигает состояние объекта на расстояниеа

. (2.44)

Для получения оператора разлагаем в ряд Тейлора

Производную по координате выражаем через оператор импульса , находим

,

где квадратная скобка является разложение в ряд экспоненты. В результате оператор трансляции

. (2.45)

Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля

. (2.46)

Определению (2.46) удовлетворяет

.

Сравнение с (2.45) дает

. (2.47)

Генератором перемещения является импульс.

Оператор эволюции передвигает состояние во времени на τ

. (2.49)

По аналогии с (2.45) записываем

. (2.50)

Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)

.

Генератор эволюции

(2.51)

сравниваем с генератором трансляции (2.46) и по аналогии с (2.47) получаем

,

. (2.52)

Найдем физический смысл . Рассмотрим действиена волну де Бройля

,

описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем

.

Это уравнение на собственную функцию оператора , где собственным значением является полная энергия. Следовательно, генератором эволюции является оператор полной энергии, или гамильтониан – полная энергия, выраженная через импульс и координату частицы.