- •Математические основы квантовой механики
- •Основные положения
- •Волновая функция
- •ОператорЫ
- •Собственные функции операторА и собственные значения
- •ЭрмитовыЙ оператор
- •Эрмитовость оператора импульса
- •УсЛовия ортонормированности
- •Среднее значение величины
- •СоотношениЕ неопределенностей
- •ОператорЫ трансляции и эволюции
- •Уравнение Шредингера
- •Быстрота Изменения величины
- •Ток вероятности
- •Матрица плотности
Уравнение Шредингера
Для частицы, описываемой гамильтонианом , волновая функциянаходится из уравнения, которое получил Эрвин Шрёдингер в 1926 г. Если потенциальная энергия не зависит от времени, то полная энергияЕ постоянна, зависимости от координат и времени в волновой функции разделяются , где. Функциянаходится из стационарного уравнения Шредингера.
Правило соответствия. При переходе от классической к квантовой теории физическим величинам сопоставляются эрмитовые операторы. При этом соотношения между динамическими характеристиками сохраняются. Это обеспечивает совпадение результатов теорий при больших значениях квантовых чисел.
Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории является суммой кинетической и потенциальной энергий, выраженных через импульсы и координаты:
.
Переходим к операторам
,
,
,
где
–оператор градиента,
–оператор Лапласа.
Получаем оператор полной энергии, или оператор Гамильтона
. (2.53)
Волновое уравнение Шредингера следует из (2.52)
и (2.53) в виде
. (2.54)
Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени
,
то полная энергия E сохраняется и состояние системы стационарное. В (2.54) слагаемые с координатами и временем разделены, решение ищем в виде
. (2.55)
Подставляем (2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на , переменные разделяются
.
Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому они равны постоянной Е.
В уравнении
разделяем переменные
,
интегрируем и находим
. (2.56)
Для получаемстационарное уравнение Шредингера
. (2.57)
Уравнение (2.57) с учетом является уравнением для собственной функции оператора гамильтона
, (2.58)
следовательно, Е – полная энергия. Если система одномерная, то для из (2.57) получаем
. (2.59)
Стационарное состояние с энергией E имеет вид
. (2.60)
Функция периодически зависит от времени как с частотой, пропорциональной энергии:
. (2.61)
Для свободной частицы при получаем зависимость частоты от волнового числа –закон дисперсии
. (2.61а)
Координатная часть волновой функции стационарного состояния выражается через вещественные функции – амплитуды A и фазы β
. (2.63)
Плотность вероятности
.
Быстрота Изменения величины
Среднее значение физической величины изменяется со временем по двум причинам:
из-за зависимости оператора величины от времени;
из-за некоммутативности оператора величины с гамильтонианом.
Оператор производной по времени. Среднее значение (2.28)
изменяется с быстротой
.
Учитываем уравнение Шредингера (2.54)
,
,
получаем
.
Гамильтониан эрмитовый, тогда первое слагаемое в квадратных скобках равно . Объединяем его с третьим слагаемым
. (2.66)
Выражение в круглой скобке по определению является оператором производной по времени
. (2.67)
Оператор проекции скорости. В (2.67) подставляем
. (2.67а)
Используем
,
,
находим
.
На практических занятии будет получено
,
тогда оператор проекции скорости
(2.67б)
удовлетворяет классическому соотношению между скоростью и импульсом, подтверждая правило соответствия.
Сохраняющаяся величина описывается оператором , удовлетворяющим согласно (2.67) условию
.
Если оператор не зависит от времени , тогда
. (2.68)
Величина сохраняется в любом состоянии, если ее оператор не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом.
Стационарное состояние характеризуется тем, что для произвольной величины a, описываемой оператором , не зависящим от времени, среднее значение постоянно
.
Даже если , то из (2.66)
получаем
. (2.69)
В стационарном состоянии среднее значение от коммутатора оператора с гамильтонианом равно нулю.