4.4. Типы сходимости

Пусть дана некоторая последовательность сл. величин и сл. величина.

Определение. Говорят, что последовательность сл. величин сходится к сл. величине почти наверное (с вероятностью 1), если Обозначение:или

Иначе говоря, равенство означает, что множество тех, для которых последовательность имеет вероятностную меру 0.

Определение. Говорят, что последовательность сл. величин сходится к сл. величине по вероятности, если . Обозначение:или

В отличие от предыдущего случая сходимость по вероятности означает, что существуют множества значений ω ненулевой вероятности, для которых не имеет пределомпри n → ∞.

Эти два вида сходимости связаны между собой: из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Обратное утверждение не имеет места, но если последовательность , то любая ее подпоследовательностьсодержит другую подпоследовательность, сходящуюся по вероятности 1 [3].

Определение. Говорят, что последовательность сл. величин сходится к сл. величине в среднем порядка p, если .

В анализе этот вид сходимости называют сходимостью в смысле . Поэтому обозначают этот вид сходимости так:.

При p = 2 сходимость называют сходимостью в среднем квадратическом, обозначают это так: (отlimit in the mean) или .

Определение. Пусть сл. величины имеют функции распределения, а сл. величина – F(x). Говорят, что последовательность сл. величин сходитсяпо распределению к сл. величине , если во всех точках непрерывности функцииF. Обозначение:

Говорят еще в этом случае, что последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения:.

Соотношения между различными типами сходимости представлены ниже в виде схемы.

4.5. Закон больших чисел

Так называются теоремы, дающие условия, при которых арифметическое среднее сл. величин по вероятности сходится к арифметическому среднему их математических ожиданий:

Теорема 4 (закон больших чисел). Если последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин такова, что то

.

Доказательство. Заметим прежде всего, что все одинаково распределены, потому у них всех одно и то же математическое ожидание и одна и та же дисперсия. Теорему докажем, опираясь на теорему 1. Доказываемый предел можно переписать в виде. Воспользуемся неравенством Чебышева:, так как конечная сумма независимых сл. величин, умноженная на число, есть сл. величина с математическим ожиданиеми дисперсией.

Замечание. Теорема 4 имеет место и без требования существования конечных дисперсий. Просто доказательство ее будет иным.

Теорема 5. Если последовательность независимых сл. величин такова, что существуют и, то.

Это тоже закон больших чисел, но для произвольной последовательности сл. величин, произвольной в том смысле, что не утверждается одинаковое распределение всех сл. величин.

Доказательство. По неравенству Чебышева (4.4) имеем , так какПо теореме Штольца(по условию). Теорема доказана.

В основе этой теоремы лежит известная теорема П.Л. Чебышева (1880 г.):

Пусть последовательность попарно независимых сл. величин имеет математические ожидания и дисперсии, ограниченные в совокупности числом В, то есть,k = 1, 2, 3,… Тогда .

Пример 2. Пусть μ – число успехов в серии из n независимых испытаний по схеме Бернулли, величина фиксирует успех или неудачу в-м испытании по схеме Бернулли (оно принимает значение 1 или 0 соответственно). Тогда в серии испытаний число успеховравно,– частота успехов вn независимых испытаниях. Известно, что .

По доказанному приПоследнее соотношение есть теорема Бернулли.

Ранее при определении вероятности мы говорили о приближении в каком-то смысле частот событий к вероятностям этих событий. Теперь этот смысл понятен – последовательность частот сходится к вероятности события по вероятности.